解説

方針・初手

2つの立方根を

$$ a=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}}+1},\qquad b=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}}-1} $$

とおくと、$\alpha=a-b$ と書ける。

このとき $ab$ と $a^3-b^3$ はすぐ求まるので、$(a-b)^3$ の展開式

$$ (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b) $$

を用いて $\alpha$ の満たす方程式を作るのが自然である。

解法1

$$ a=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}}+1},\qquad b=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}}-1} $$

とおくと、

$$ \alpha=a-b $$

である。

まず、$ab$ を求めると

$$ ab=\sqrt[3]{\left(\sqrt{\frac{28}{27}}+1\right)\left(\sqrt{\frac{28}{27}}-1\right)} $$

$$ =\sqrt[3]{\frac{28}{27}-1} =\sqrt[3]{\frac{1}{27}} =\frac13 $$

となる。

また、

$$ a^3-b^3=\left(\sqrt{\frac{28}{27}}+1\right)-\left(\sqrt{\frac{28}{27}}-1\right)=2 $$

である。

したがって、

$$ \alpha^3=(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b) $$

より

$$ \alpha^3=2-3\cdot \frac13 ,\alpha=2-\alpha $$

となる。よって

$$ \alpha^3+\alpha-2=0 $$

である。

したがって、$\alpha$ を解にもつ整数係数の3次方程式として

$$ x^3+x-2=0 $$

が存在する。これで （1） は示された。

次に （2） を考える。

上の方程式を因数分解すると

$$ x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2) $$

である。

ここで

$$ x^2+x+2=0 $$

の判別式は

$$ 1-8=-7<0 $$

であるから、これは実数解をもたない。

一方、$\alpha$ はもとの式から明らかに実数である。したがって、$\alpha$ は

$$ x^3+x-2=0 $$

の実数解でなければならず、その唯一の実数解は

$$ x=1 $$

である。

よって

$$ \alpha=1 $$

となり、$\alpha$ は整数である。

解説

この問題の要点は、与えられた複雑な無理数をそのまま扱わず、2つの立方根を $a,b$ とおいて対称式として処理することである。

特に

$$ ab=\sqrt[3]{\left(\sqrt{\frac{28}{27}}+1\right)\left(\sqrt{\frac{28}{27}}-1\right)} $$

がきれいに $\frac13$ になることが決定的であり、これによって $(a-b)^3$ が簡単になる。

（2） では、（1） で作った3次方程式を因数分解し、実数解を絞り込めばよい。無理数らしい形をしていても、最終的には整数になるというのがこの問題のポイントである。

答え

**(1)**

$\alpha$ を解にもつ整数係数の3次方程式の1つは

$$ x^3+x-2=0 $$

である。

**(2)**

$$ \alpha=1 $$

したがって、$\alpha$ は整数であり、その値は $1$ である。