解説

方針・初手

$cube$ の差 $(u-v)^3$ を展開すると $u^3-v^3$ と $uv$ が現れるので，

$$ u=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7},\qquad v=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} $$

とおいて $uv$ を先に求めるのが自然である。実際，$(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)=1$ となるため，大きく簡単になる。

解法1

$$ u=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7},\qquad v=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} $$

とおくと，$\alpha=u-v$ である。

まず，

$$ uv=\sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)} =\sqrt[3]{50-49} =\sqrt[3]{1} =1 $$

である。

したがって，

$$ \alpha^3=(u-v)^3=u^3-v^3-3uv(u-v) $$

より，

$$ \alpha^3=(5\sqrt{2}+7)-(5\sqrt{2}-7)-3\alpha =14-3\alpha $$

となる。よって

$$ \alpha^3=14-3\alpha $$

であり，$\alpha^3$ は $\alpha$ の一次式で表された。

次に，これを整理すると

$$ \alpha^3+3\alpha-14=0 $$

を得る。

ここで

$$ f(x)=x^3+3x-14 $$

とおくと，

$$ f'(x)=3x^2+3>0 $$

であるから，$f(x)$ は実数全体で単調増加である。したがって実数解は高々1つである。

一方，

$$ f(2)=2^3+3\cdot 2-14=8+6-14=0 $$

より，$x=2$ はこの方程式の実数解である。実数解はただ1つなので，

$$ \alpha=2 $$

である。ゆえに $\alpha$ は整数である。

解説

この問題の要点は，3乗根が2つ現れていても，その積が

$$ (5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)=1 $$

となることに気づく点にある。これにより $(u-v)^3$ の展開式の $-3uv(u-v)$ がそのまま $-3\alpha$ となり，$\alpha$ についての3次方程式が得られる。

その後は，実際に整数解 $2$ を見つけるだけでは不十分であり，$\alpha$ がその値に一致することを示す必要がある。そこで $x^3+3x-14$ が単調増加であることを用いて，実数解がただ1つであることを確認するのが確実である。

答え

**(1)**

$$ \alpha^3=14-3\alpha $$

**(2)**

$$ \alpha=2 $$

したがって，$\alpha$ は整数である。