基礎問題集
数学2 複素数と方程式「複素数」の問題1 解説
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解説
方針・初手
複素数の等式が $0$ に等しいので、実部と虚部をそれぞれ $0$ とおけばよい。
$a,b$ は実数であるから、与式を実部と虚部に分けて連立方程式として解くのが最も直接的である。
解法1
与式
$$ (1-i)a^2+a-b(1+i)=0 $$
を展開する。
$$ (1-i)a^2+a-b(1+i) = a^2-ia^2+a-b-ib = (a^2+a-b)+(-a^2-b)i $$
したがって、複素数が $0$ になるためには、実部と虚部がともに $0$ であるから、
$$ \begin{cases} a^2+a-b=0 \\ -a^2-b=0 \end{cases} $$
を満たす。
第2式より
$$ b=-a^2 $$
である。これを第1式に代入すると、
$$ a^2+a-(-a^2)=0 $$
すなわち
$$ 2a^2+a=0 $$
となるので、
$$ a(2a+1)=0 $$
より
$$ a=0 \quad \text{または} \quad a=-\frac{1}{2} $$
である。
それぞれについて $b=-a^2$ を用いると、
**(i)**
$a=0$ のとき
$$ b=0 $$
よって $(a,b)=(0,0)$ である。
**(ii)**
$a=-\dfrac{1}{2}$ のとき
$$ b=-\left(-\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{1}{4} $$
よって
$$ (a,b)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right) $$
である。
したがって、$(0,0)$ 以外の解は
$$ \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right) $$
である。
解説
複素数の方程式で、未知数が実数であるときは、実部と虚部を分けるのが基本である。
この問題では $a,b$ が実数であることが重要であり、そこから
$$ (a^2+a-b)+(-a^2-b)i=0 $$
ならば実部と虚部がそれぞれ $0$ になると判断できる。あとは連立方程式を処理するだけである。
答え
$$ [1]=-\frac{1}{2}, \qquad [2]=-\frac{1}{4} $$
すなわち、求める組は
$$ \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right) $$
である。