基礎問題集

数学2 複素数と方程式「複素数」の問題2 解説

数学2の複素数と方程式「複素数」にある問題2の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学2複素数と方程式複素数問題2

解説

$i$ の累乗は $4$ 周期で繰り返すので、$4$ 項ずつまとめるのが最も速い。実際、

$$ i,\ i^2,\ i^3,\ i^4,\ i^5,\ \dots $$

は

$$ i,\ -1,\ -i,\ 1,\ i,\ \dots $$

と循環する。

$i$ の累乗は

$$ i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1 $$

であり、その後は同じ並びを繰り返す。したがって、$4$ 項の和は

$$ i+i^2+i^3+i^4=i+(-1)+(-i)+1=0 $$

となる。

ここで、

$$ 50=4\times 12+2 $$

であるから、最初の $48$ 項は $4$ 項ずつ $12$ 組に分けられ、その和はすべて $0$ である。よって、

$$ i+i^2+i^3+\cdots+i^{50}=i^{49}+i^{50} $$

となる。

さらに、$49\equiv 1\pmod{4}$、$50\equiv 2\pmod{4}$ であるから、

$$ i^{49}=i,\qquad i^{50}=i^2=-1 $$

である。したがって、

$$ i+i^2+i^3+\cdots+i^{50}=i+(-1)=-1+i $$

となる。

この問題の要点は、$i$ の累乗が $4$ 周期で循環することにある。無理に $1$ 項ずつ計算するのではなく、$4$ 項ごとの和が $0$ になることを見抜けば、一気に処理できる。

$$ -1+i $$