解説

方針・初手

$x$ が実数であることを用いる。複素数が $0$ になるためには、実部と虚部がそれぞれ $0$ でなければならない。

そこで、与えられた式の実部と虚部を分け、まず実部から $x$ の候補を求め、その後虚部の条件で $a$ を決定する。

解法1

与えられた方程式は

$$ (2+i)x^2+(2+ai+i)x-4+ai=0 $$

である。

$x$ は実数、$a$ も実数であるから、実部と虚部に分けると

$$ 2x^2+2x-4+i{x^2+(a+1)x+a}=0 $$

となる。

したがって、

$$\begin{cases} 2x^2+2x-4=0 \\ x^2+(a+1)x+a=0 \end{cases}$$

を同時に満たす実数 $x$ が存在すればよい。

まず実部の条件より

$$ 2x^2+2x-4=0 $$

すなわち

$$ x^2+x-2=0 $$

であるから、

$$ (x+2)(x-1)=0 $$

より

$$ x=1,\ -2 $$

である。

したがって、実数解が存在するためには、このどちらかが虚部の条件

$$ x^2+(a+1)x+a=0 $$

も満たせばよい。

**(i)**

$x=1$ のとき

$$ 1+(a+1)+a=0 $$

より

$$ 2a+2=0 $$

したがって

$$ a=-1 $$

である。

**(ii)**

$x=-2$ のとき

$$ 4-2(a+1)+a=0 $$

より

$$ 4-2a-2+a=0 $$

$$ 2-a=0 $$

したがって

$$ a=2 $$

である。

以上より、求める $a$ は

$$ a=-1,\ 2 $$

である。

解説

複素係数の方程式であっても、未知数 $x$ が実数と指定されているときは、実部と虚部を分けるのが基本方針である。

この問題では、実部の式が $a$ を含まないため、先に $x$ の候補を絞れる。その後、その候補を虚部の式に代入するだけで $a$ が求まる。複素数方程式を「連立条件」に直す典型問題である。

答え

$$ a=-1,\ 2 $$