基礎問題集
数学2 複素数と方程式「複素数」の問題4 解説
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解説
方針・初手
複素数の等式が $0$ であるから、実部と虚部をそれぞれ $0$ とおけばよい。
与式
$$ (1+2i)x^2+(2+yi)x-3(1+i)=0 $$
を実部と虚部に分けて、$x,y$ についての実数の連立方程式に直す。
解法1
与式を展開すると、
$$ (1+2i)x^2=x^2+2x^2i,\qquad (2+yi)x=2x+xy,i,\qquad -3(1+i)=-3-3i $$
であるから、
$$ (x^2+2x-3)+(2x^2+xy-3)i=0 $$
となる。
複素数が $0$ であるためには、実部・虚部がともに $0$ でなければならないので、
$$ \begin{cases} x^2+2x-3=0 \\ 2x^2+xy-3=0 \end{cases} $$
を満たす。
まず、実部の式より
$$ x^2+2x-3=(x-1)(x+3)=0 $$
だから、
$$ x=1,\ -3 $$
である。
次に、それぞれについて虚部の式
$$ 2x^2+xy-3=0 $$
を用いる。
**(i)**
$x=1$ のとき
$$ 2\cdot 1^2+1\cdot y-3=0 $$
より、
$$ 2+y-3=0 $$
したがって、
$$ y=1 $$
である。
**(ii)**
$x=-3$ のとき
$$ 2\cdot (-3)^2+(-3)y-3=0 $$
より、
$$ 18-3y-3=0 $$
すなわち
$$ 15-3y=0 $$
したがって、
$$ y=5 $$
である。
以上より、
$$ (x,y)=(1,1),\ (-3,5) $$
解説
この問題の要点は、複素数の等式を実部と虚部に分けることである。
$x,y$ は実数なので、与式を $A+Bi$ の形に整理すれば、$A=0,\ B=0$ という2本の実数方程式に帰着できる。複素数の方程式で最も基本的な処理である。
答え
$$ (x,y)=(1,1),\ (-3,5) $$