解説

方針・初手

純虚数解を $x=bi$ とおく。ただし $b$ は実数である。

これを方程式に代入し、実部と虚部をそれぞれ $0$ とおけば、$b$ と $k$ の条件が得られる。純虚数解の条件はこの処理が最も直接的である。

解法1

純虚数解を

$$ x=bi \qquad (b\in \mathbb{R}) $$

とおくと、

$$ x^2=(bi)^2=-b^2 $$

である。

これを

$$ (1+i)x^2+(k+i)x+3-3ki=0 $$

に代入する。

まず各項を計算すると、

$$ (1+i)x^2=(1+i)(-b^2)=-b^2-b^2i $$

また、

$$ (k+i)x=(k+i)bi=bki+b i^2=-b+bki $$

である。

したがって方程式は

$$ (-b^2-b^2i)+(-b+bki)+3-3ki=0 $$

となる。実部と虚部をまとめると、

$$ (-b^2-b+3)+(-b^2+bk-3k)i=0 $$

であるから、

$$ \begin{cases} -b^2-b+3=0 \\ -b^2+bk-3k=0 \end{cases} $$

すなわち

$$ \begin{cases} b^2+b-3=0 \\ k(b-3)=b^2 \end{cases} $$

を得る。

ここで第1式より

$$ b^2=3-b $$

であるから、これを第2式に代入すると

$$ k(b-3)=3-b $$

となる。右辺は

$$ 3-b=-(b-3) $$

であるから、

$$ k(b-3)=-(b-3) $$

を得る。

なお、第1式 $b^2+b-3=0$ の解が $b=3$ になることはないので、$b-3\neq 0$ である。よって両辺を $b-3$ で割って

$$ k=-1 $$

となる。

解説

純虚数解をもつ条件は、未知数を $x=bi$ とおいて実部・虚部を比較するのが基本である。

この問題では、実部から得られる式 $b^2+b-3=0$ を使って $b^2=3-b$ と変形すると、虚部の式が一気に整理され、$k$ がただちに定まる。$b$ 自体を具体的に求めなくても $k$ が決まるのがポイントである。

答え

$$ k=-1 $$