基礎問題集
数学2 複素数と方程式「複素数」の問題8 解説
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解説
方針・初手
$\alpha=1+\sqrt{3}i$ と $\alpha+2=3+\sqrt{3}i$ を極形式で表すと、累乗と割り算が一気に処理できる。
解法1
まず、$\alpha$ の絶対値と偏角を求める。
$$ |\alpha|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2 $$
また、
$$ \tan \theta=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} $$
より、$\alpha$ は第1象限にあるので
$$ \theta=\frac{\pi}{3} $$
したがって、
$$ \alpha=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right) $$
である。
次に、$\alpha+2$ を考える。
$$ \alpha+2=3+\sqrt{3}i $$
その絶対値は
$$ |\alpha+2|=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} $$
また、
$$ \tan \phi=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}} $$
より、$\alpha+2$ は第1象限にあるので
$$ \phi=\frac{\pi}{6} $$
よって、
$$ \alpha+2=2\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right) $$
となる。
これを用いると、
$$ (\alpha+2)^6=(2\sqrt{3})^6 \left(\cos \pi+i\sin \pi\right) $$
であるから、
$$ (\alpha+2)^6=(2^6 \cdot 3^3)(-1)=-64 \cdot 27=-1728 $$
また、
$$ \alpha^3=2^3\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=-8 $$
したがって、
$$ \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3} =\frac{-1728}{-8} =216 $$
解説
複素数の累乗や商は、極形式に直すのが定石である。直交形式のまま展開すると計算が重くなるが、極形式なら絶対値は累乗し、偏角は掛け算・引き算になるので処理が非常に簡単になる。
答え
$216$