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数学2 複素数と方程式「複素数」の問題9 解説

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数学2複素数と方程式複素数問題9

解説

左辺を展開し、実部と虚部を右辺 $y+xi$ の実部・虚部とそれぞれ比較する。$x,y$ は実数であるから、複素数の相等条件をそのまま用いればよい。

与えられた式

$$ (1+2i)(x+i)=y+xi $$

の左辺を展開する。

$$ \begin{aligned} (1+2i)(x+i) &=x+i+2ix+2i^2 \\ &=x+i+2ix-2 \\ &=(x-2)+(2x+1)i \end{aligned} $$

したがって、

$$ (x-2)+(2x+1)i=y+xi $$

となる。

ここで、複素数が等しいためには実部どうし、虚部どうしがそれぞれ等しいから、

$$ \begin{cases} x-2=y \\ 2x+1=x \end{cases} $$

を得る。

第2式より

$$ x=-1 $$

である。

これを第1式に代入すると、

$$ y=x-2=-1-2=-3 $$

となる。

よって、

$$ (x,y)=(-1,-3) $$

である。

この問題の要点は、複素数の式であっても $x,y$ は実数であることに注目し、展開後に実部と虚部を比較することである。複素数の等式は、実部と虚部を別々に見るのが基本処理である。

$$ (x,y)=(-1,-3) $$