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数学2 複素数と方程式「複素数」の問題11 解説

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数学2複素数と方程式複素数問題11

解説

$z=\dfrac{(a+i)^3}{i}$ を計算して、実部と虚部に分ける。

$z$ が実数であるためには、虚部が $0$ であればよいので、まず $(a+i)^3$ を展開するのが自然である。

$(a+i)^2$ は

$$ (a+i)^2=a^2+2ai+i^2=a^2-1+2ai $$

である。したがって、

$$ (a+i)^3=(a+i)(a^2-1+2ai) $$

を計算すると、

$$ \begin{aligned} (a+i)^3 &=a(a^2-1+2ai)+i(a^2-1+2ai)\\ &=a^3-a+2a^2i+(a^2-1)i+2ai^2\\ &=a^3-3a+(3a^2-1)i \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ z=\frac{(a+i)^3}{i} =\frac{a^3-3a+(3a^2-1)i}{i} $$

である。ここで $\dfrac{1}{i}=-i$ を用いると、

$$ \begin{aligned} z &=\left(a^3-3a+(3a^2-1)i\right)(-i)\\ &=(3a^2-1)-(a^3-3a)i \end{aligned} $$

となる。

$z$ が実数であるためには虚部が $0$ であればよいから、

$$ a^3-3a=0 $$

すなわち

$$ a(a^2-3)=0 $$

である。

$a>0$ より、$a=0$ は不適であり、

$$ a=\sqrt{3} $$

となる。

このとき、

$$ z=3a^2-1=3\cdot 3-1=8 $$

である。

複素数が実数になる条件は、虚部が $0$ になることである。

この問題では、分母に $i$ があるが、先に $(a+i)^3$ を実部と虚部に分けてから $\dfrac{1}{i}=-i$ を使えば、$z$ 全体の実部・虚部が明確になる。複素数の条件処理として典型的な問題である。

$\text{ア}=\sqrt{3}$、$\text{イ}=8$