解説

方針・初手

（1） は分母を有理化して計算する。

（2） は $16i$ を極形式で表し，平方根を求める。

（3） は $1$ の虚数である $3$ 乗根について成り立つ

$$ \omega^3=1,\qquad \omega^2+\omega+1=0 $$

を用いて整理する。なお，高校数学での通常の記号に従い，

$$ \omega=\frac{-1+\sqrt3,i}{2},\qquad \omega^2=\frac{-1-\sqrt3,i}{2} $$

とする。

解法1

**(1)**

まず

$$ \frac{2+5i}{4+i} =\frac{(2+5i)(4-i)}{(4+i)(4-i)} =\frac{8-2i+20i-5i^2}{17} =\frac{13+18i}{17} $$

である。

また，

$$ \frac{i}{4-i} =\frac{i(4+i)}{(4-i)(4+i)} =\frac{4i+i^2}{17} =\frac{-1+4i}{17} $$

である。

したがって，

$$ \frac{2+5i}{4+i}-\frac{i}{4-i} =\frac{13+18i}{17}-\frac{-1+4i}{17} =\frac{14+14i}{17} $$

となる。

よって，①は

$$ 14+14i $$

である。

**(2)**

$16i$ を極形式で表すと

$$ 16i=16\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) $$

である。

したがって，その平方根は

$$ 4\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right), \qquad 4\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right) $$

であるから，

$$ 2\sqrt2+2\sqrt2,i,\qquad -2\sqrt2-2\sqrt2,i $$

となる。

よって，②，③は

$$ 2\sqrt2+2\sqrt2,i,\qquad -2\sqrt2-2\sqrt2,i $$

である。

**(3)**

$\omega^2+\omega+1=0$ より

$$ \omega^2+\omega=-1 $$

であるから，④は

$$ -1 $$

である。

次に，$i^{10}=i^8i^2=-1$，また $\omega^5=\omega^2$ であるから

$$ i^{10}+\omega^5=-1+\omega^2 =-1+\frac{-1-\sqrt3,i}{2} =\frac{-3-\sqrt3,i}{2} $$

となる。

よって，⑤は

$$ \frac{-3-\sqrt3,i}{2} $$

である。

さらに，$\omega^3=1$ より

$$ \frac{1}{\omega^{10}}=\frac{1}{\omega}=\omega^2,\qquad \frac{1}{\omega^5}=\frac{1}{\omega^2}=\omega $$

である。

したがって，

$$ \frac{1}{\omega^{10}}-\frac{1}{\omega^5}+1 =\omega^2-\omega+1 $$

であり，

$$ \omega^2-\omega =\frac{-1-\sqrt3,i}{2}-\frac{-1+\sqrt3,i}{2} =-\sqrt3,i $$

だから，

$$ \frac{1}{\omega^{10}}-\frac{1}{\omega^5}+1 =1-\sqrt3,i $$

となる。

よって，⑥は

$$ 1-\sqrt3,i $$

である。

最後に，

$$ \begin{aligned} (\omega^2+5\omega)^2+(5\omega^2+\omega)^2 &=(\omega^4+10\omega^3+25\omega^2)+(25\omega^4+10\omega^3+\omega^2) \\ &=26\omega^4+20\omega^3+26\omega^2 \end{aligned} $$

である。

ここで $\omega^3=1$ より $\omega^4=\omega$ であるから，

$$ 26\omega^4+20\omega^3+26\omega^2 =26\omega+20+26\omega^2 =26(\omega+\omega^2)+20 $$

となる。さらに $\omega+\omega^2=-1$ より

$$ 26(\omega+\omega^2)+20=26(-1)+20=-6 $$

である。

よって，⑦は

$$ -6 $$

である。

解説

この問題の要点は，複素数の基本計算を機械的に終わらせず，それぞれの道具を正しく使い分けることである。

（1） は分母の有理化，（2） は極形式，（3） は

$$ \omega^3=1,\qquad \omega^2+\omega+1=0 $$

という $1$ の虚数である $3$ 乗根の基本関係式を使う典型題である。特に （3） の最後は，そのまま展開すると複雑に見えるが，$\omega^3=1$ と $\omega+\omega^2=-1$ に戻して整理すれば一気に数値化できる。

答え

**(1)**

① $=14+14i$

**(2)**

②，③ $=2\sqrt2+2\sqrt2,i,\ -2\sqrt2-2\sqrt2,i$（順不同）

**(3)**

④ $=-1$

**(3)**

⑤ $=\dfrac{-3-\sqrt3,i}{2}$

**(3)**

⑥ $=1-\sqrt3,i$

**(3)**

⑦ $=-6$