解説

方針・初手

実数解 $\alpha$ が存在するので，まず $x=\alpha$ とおいて式の実部と虚部をそれぞれ $0$ とおく。

そのために，先に

$$ (2+i)^2=3+4i $$

を計算しておくとよい。

解法1

与えられた方程式は

$$ x^2+(3+2i)x+k(2+i)^2=0 $$

であるから，

$$ (2+i)^2=3+4i $$

より，

$$ x^2+(3+2i)x+k(3+4i)=0 $$

となる。

実数解 $x=\alpha$ が存在するとすると，

$$ \alpha^2+(3+2i)\alpha+k(3+4i)=0 $$

である。$\alpha,k$ はともに実数なので，実部と虚部を比較して

$$ \begin{cases} \alpha^2+3\alpha+3k=0 \\ 2\alpha+4k=0 \end{cases} $$

を得る。

虚部の式から

$$ \alpha=-2k $$

である。これを実部の式に代入すると，

$$ (-2k)^2+3(-2k)+3k=0 $$

すなわち

$$ 4k^2-3k=0 $$

となる。よって

$$ k(4k-3)=0 $$

であるが，$k\neq 0$ だから

$$ k=\frac{3}{4} $$

である。したがって

$$ \alpha=-2k=-\frac{3}{2} $$

となる。

次に，このときの方程式の解をすべて求める。

$k=\dfrac{3}{4}$ を代入すると，

$$ x^2+(3+2i)x+\frac{3}{4}(3+4i)=0 $$

すなわち

$$ x^2+(3+2i)x+\left(\frac{9}{4}+3i\right)=0 $$

である。

この方程式の1つの解は $\alpha=-\dfrac{3}{2}$ であるから，もう1つの解を $\beta$ とすると，解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=-(3+2i) $$

である。よって

$$ \beta=-(3+2i)-\alpha =-(3+2i)+\frac{3}{2} =-\frac{3}{2}-2i $$

となる。

したがって，方程式は

$$ \left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}+2i\right)=0 $$

と因数分解でき，解は

$$ x=-\frac{3}{2},\ -\frac{3}{2}-2i $$

である。

解説

実数解があるという条件では，その実数を代入して実部と虚部を分けるのが基本方針である。

この問題では $k$ も実数なので，複素数の等式を「実部 $=0$，虚部 $=0$」という連立方程式に直せる。そこから $k,\alpha$ が一意に決まる。

その後は，すでに1つの解が分かっているので，解と係数の関係を使えばもう1つの解はすぐに求まる。

答え

**(1)**

$$ k=\frac{3}{4},\qquad \alpha=-\frac{3}{2} $$

**(2)**

方程式を満たすすべての複素数 $x$ は

$$ x=-\frac{3}{2},\ -\frac{3}{2}-2i $$

である。