解説

方針・初手

$1$ の虚数の $3$ 乗根 $\omega$ は、$1$ 以外の $3$ 乗根であるから

$$ \omega^3=1,\qquad 1+\omega+\omega^2=0 $$

を満たす。したがって、高次の $\omega$ は $\omega^3=1$ を用いて次数を下げ、$\omega+\omega^2=-1$ を使って整理すればよい。

解法1

まず、$\omega^4=\omega^3\omega=\omega$ であるから、

$$ \omega^4+\omega^3+3\omega^2+2\omega+1 =\omega+1+3\omega^2+2\omega+1 =3\omega^2+3\omega+2 $$

となる。

ここで $1+\omega+\omega^2=0$ より

$$ \omega+\omega^2=-1 $$

であるから、

$$ 3\omega^2+3\omega+2 =3(\omega+\omega^2)+2 =3(-1)+2 =-1 $$

したがって、

$$ \text{ア}=-1 $$

である。

次に、

$$ \omega^{99}+\omega^{98}+\cdots+\omega^2+\omega+1 =\sum_{k=0}^{99}\omega^k $$

を求める。

これは等比数列の和であるから、

$$ \sum_{k=0}^{99}\omega^k =\frac{\omega^{100}-1}{\omega-1} $$

と表せる。ここで $\omega^3=1$ より、$100=3\times 33+1$ なので

$$ \omega^{100}=\omega $$

である。よって、

$$ \frac{\omega^{100}-1}{\omega-1} =\frac{\omega-1}{\omega-1} =1 $$

したがって、

$$ \text{イ}=1 $$

である。

解説

この問題の要点は、虚数である $1$ の $3$ 乗根 $\omega$ に対して

$$ \omega^3=1,\qquad 1+\omega+\omega^2=0 $$

を確実に使えるようにすることである。

特に、$\omega^4$ のような高い次数は $\omega^3=1$ によってすぐ次数を下げられる。また、$\omega+\omega^2=-1$ は頻出であり、式の整理を大きく簡単にする。

後半の和は等比数列の和の公式を使うのが最短である。$\omega$ は $3$ 乗すると $1$ に戻るので、指数は $3$ で割った余りだけ見ればよい。

答え

**(ア)**

$-1$

**(イ)**

$1$