解説

方針・初手

与えられている条件は

$$ w^2+w+1=0 $$

である。これからまず $w^3$ を求める。

そのうえで、$P$ の第3因子に現れる $w^4$ を $w$ に直し、さらに

$$ w+w^2=-1,\quad w^3=1 $$

を用いて積を整理すれば、$a,b,c$ のみの式にできる。

解法1

**(1)**

$w^3=1$ であることを示す。

条件

$$ w^2+w+1=0 $$

の両辺に $w-1$ を掛けると、

$$ (w-1)(w^2+w+1)=0 $$

より

$$ w^3-1=0 $$

となる。したがって

$$ w^3=1 $$

である。

---

**(2)**

まず （1） より $w^3=1$ であるから、

$$ w^4=w $$

である。よって

$$ P=(a+b+c)(a+bw+cw^2)(a+bw^2+cw) $$

となる。

ここで後ろ2つの因子を掛け合わせる。

$$ \begin{aligned} &(a+bw+cw^2)(a+bw^2+cw) \\ &=a^2+ab(w+w^2)+ac(w+w^2)+b^2w^3+bc(w^2+w^4)+c^2w^3 \end{aligned} $$

（1） より $w^3=1,; w^4=w$ であり、またもとの条件から

$$ w+w^2=-1 $$

なので、

$$ \begin{aligned} (a+bw+cw^2)(a+bw^2+cw) &=a^2-ab-ac+b^2+bc(w+w^2)+c^2 \\ &=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ P=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $$

である。

さらに恒等式

$$ (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=x^3+y^3+z^3-3xyz $$

を用いれば、

$$ P=a^3+b^3+c^3-3abc $$

となる。

解説

この問題の要点は、$w^2+w+1=0$ を満たす複素数 $w$ が $1$ でない3乗根であることを見抜くことである。

（1） で $w^3=1$ を示してしまえば、$w^4=w$ がすぐに分かり、さらに $w+w^2=-1$ も使えるので、$P$ の中の $w$ をすべて消去できる。

（2） では、後ろ2つの因子を先に掛けると整理しやすい。最後は有名な恒等式に落ちるので、対称式としてまとめる見通しを持つことが重要である。

答え

**(1)**

$$ w^3=1 $$

**(2)**

$$ P=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc $$