解説

方針・初手

実数解を $x=t$ とおく。$t$ は実数であるから，方程式の左辺を実部と虚部に分け，それぞれが $0$ になる条件を調べればよい。

解法1

$x=t\ (t\in \mathbb{R})$ が与えられた方程式

$$ (a+i)x^2+2(1+i)x+1+ai=0 $$

の実数解であるとする。このとき

$$ (a+i)t^2+2(1+i)t+1+ai =(at^2+2t+1)+i(t^2+2t+a) $$

であるから，

$$ \begin{cases} at^2+2t+1=0\\ t^2+2t+a=0 \end{cases} $$

を同時に満たす。

第2式から

$$ a=-(t^2+2t) $$

である。これを第1式に代入すると，

$$ -(t^2+2t)t^2+2t+1=0 $$

すなわち

$$ t^4+2t^3-2t-1=0 $$

となる。これを因数分解すると，

$$ t^4+2t^3-2t-1 =(t^2-1)(t+1)^2 =(t-1)(t+1)^3 $$

であるから，

$$ t=1,\ -1 $$

を得る。

それぞれに対して $a$ を求める。

**(i)**

$t=1$ のとき

$$ 1+2+a=0 $$

より，

$$ a=-3 $$

である。

**(ii)**

$t=-1$ のとき

$$ 1-2+a=0 $$

より，

$$ a=1 $$

である。

したがって，求める実数 $a$ は

$$ a=1,\ -3 $$

である。

次に，そのときの方程式の解をすべて求める。

**(i)**

$a=1$ のとき

方程式は

$$ (1+i)x^2+2(1+i)x+1+i=0 $$

であり，

$$ (1+i)(x^2+2x+1)=0 $$

すなわち

$$ (1+i)(x+1)^2=0 $$

となる。よって解は

$$ x=-1\quad （重解） $$

である。

**(ii)**

$a=-3$ のとき

方程式は

$$ (-3+i)x^2+2(1+i)x+1-3i=0 $$

である。すでに $x=1$ が実数解であることが分かっているので，$(x-1)$ でくくると

$$ (-3+i)x^2+2(1+i)x+1-3i =(x-1){(-3+i)x+(-1+3i)} $$

となる。したがってもう1つの解は

$$ (-3+i)x+(-1+3i)=0 $$

より

$$ x=\frac{1-3i}{-3+i} =\frac{(1-3i)(-3-i)}{(-3+i)(-3-i)} =\frac{-3+4i}{5} $$

である。

ゆえにこのときの解は

$$ x=1,\ \frac{-3+4i}{5} $$

である。

解説

実数解をもつ複素数係数方程式では，実数 $x$ を代入したときに実部と虚部が同時に $0$ になることが本質である。これにより，複素数の方程式を2本の実数方程式に分けて処理できる。

本問では，その2式から $a$ を消去して $t$ のみの方程式に直し，実数解候補を先に絞るのが自然である。そこから $a$ を逆算し，各場合で元の2次方程式の解を求めればよい。

答え

$$ a=1,\ -3 $$

そのときの解は次のとおりである。

$ a=1 $ のとき

$$ x=-1\quad （重解） $$

$ a=-3 $ のとき

$$ x=1,\ \frac{-3+4i}{5} $$