解説

方針・初手

割る式は

$$ x^2-2x+1=(x-1)^2 $$

である。

したがって、与えられた整式

$$ P(x)=x^4+ax^3+ax^2+bx-6 $$

が $(x-1)^2$ で割り切れるための条件は、$x=1$ が重解になることである。よって

$$ P(1)=0,\quad P'(1)=0 $$

を用いればよい。

解法1

$P(x)=x^4+ax^3+ax^2+bx-6$ とおく。

まず $P(1)=0$ より、

$$ P(1)=1+a+a+b-6=2a+b-5 $$

であるから、

$$ 2a+b-5=0 $$

を得る。

次に微分すると、

$$ P'(x)=4x^3+3ax^2+2ax+b $$

である。$x=1$ が重解なので $P'(1)=0$ であり、

$$ P'(1)=4+3a+2a+b=4+5a+b $$

より、

$$ 4+5a+b=0 $$

を得る。

したがって、$a,b$ は連立方程式

$$ \begin{cases} 2a+b=5 \\ 5a+b=-4 \end{cases} $$

を満たす。

下の式から上の式を引くと、

$$ 3a=-9 $$

より、

$$ a=-3 $$

である。

これを $2a+b=5$ に代入すると、

$$ 2(-3)+b=5 $$

すなわち

$$ b=11 $$

となる。

解法2

$(x-1)^2=x^2-2x+1$ で割り切れるので、ある2次式 $x^2+px+q$ を用いて

$$ x^4+ax^3+ax^2+bx-6=(x^2-2x+1)(x^2+px+q) $$

と書ける。

右辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} (x^2-2x+1)(x^2+px+q) &=x^4+(p-2)x^3+(q-2p+1)x^2+(-2q+p)x+q \end{aligned} $$

である。

これを

$$ x^4+ax^3+ax^2+bx-6 $$

と係数比較すると、

$$ \begin{cases} a=p-2 \\ a=q-2p+1 \\ b=-2q+p \\ -6=q \end{cases} $$

となる。

$q=-6$ を代入すると、

$$ a=-6-2p+1=-5-2p $$

一方で $a=p-2$ だから、

$$ p-2=-5-2p $$

より

$$ 3p=-3 $$

したがって

$$ p=-1 $$

であり、

$$ a=p-2=-3 $$

となる。

さらに

$$ b=-2q+p=-2(-6)+(-1)=12-1=11 $$

を得る。

解説

$(x-1)^2$ で割り切れるという条件は、$x=1$ が2重根であることと同値である。このとき

$$ P(1)=0,\quad P'(1)=0 $$

を使うのが最も速い。

一方、因数分解の形

$$ P(x)=(x-1)^2(\text{2次式}) $$

とおいて係数比較する方法でも求められる。どちらも典型的な処理であり、重解条件を微分で扱えるようにしておくことが重要である。

答え

$$ a=-3,\quad b=11 $$