基礎問題集
数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題2 解説
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解説
方針・初手
$2x^4+7x^3+3x^2+2x-6$ を $2x+1$ で割るには、整式の割り算を順に行えばよい。
最高次の項から順に、商の各項を決めていく。
解法1
次のように割り算を行う。
まず、
$$ \frac{2x^4}{2x}=x^3 $$
より、商の最初の項は $x^3$ である。
そこで、
$$ (2x+1)x^3=2x^4+x^3 $$
をもとの式から引くと、
$$ (2x^4+7x^3+3x^2+2x-6)-(2x^4+x^3)=6x^3+3x^2+2x-6 $$
となる。
次に、
$$ \frac{6x^3}{2x}=3x^2 $$
より、商に $3x^2$ を加える。
すると、
$$ (2x+1)3x^2=6x^3+3x^2 $$
であるから、これを引くと、
$$ (6x^3+3x^2+2x-6)-(6x^3+3x^2)=2x-6 $$
となる。
さらに、
$$ \frac{2x}{2x}=1 $$
より、商に $1$ を加える。
すると、
$$ (2x+1)\cdot 1=2x+1 $$
であるから、これを引くと、
$$ (2x-6)-(2x+1)=-7 $$
となる。
したがって、
$$ 2x^4+7x^3+3x^2+2x-6=(2x+1)(x^3+3x^2+1)-7 $$
である。
解説
整式の割り算では、割られる式の最高次の項を消すように商の項を決めていくのが基本である。
この問題では、$2x^4$ を消すためにまず $x^3$、次に $6x^3$ を消すために $3x^2$、最後に $2x$ を消すために $1$ を置けばよい。余りは割る式 $2x+1$ より次数が低い定数になる。
答え
商は
$$ x^3+3x^2+1 $$
余りは
$$ -7 $$