解説

方針・初手

$f(x)=x^2+ax$ で割った余りは高々1次式であるから、$x^2\equiv -ax \pmod{f(x)}$ を用いて各式を1次式まで落とす。

与えられた2つの余りが等しいという条件から $a$ を決定し、その後に $(x^3-x^2-x+1)^3$ の余りを求める。

解法1

$P(x)=x^3-x^2-x+1$、$Q(x)=x^2-2x+1$ とおく。

$f(x)=x^2+ax$ で割ったとき、

$$ x^2\equiv -ax \pmod{f(x)} $$

である。したがって

$$ x^3=x\cdot x^2\equiv x(-ax)=-ax^2\equiv -a(-ax)=a^2x \pmod{f(x)} $$

となる。

よって $P(x)$ の余りは

$$ P(x)\equiv x^3-x^2-x+1 \equiv a^2x-(-ax)-x+1 =(a^2+a-1)x+1 \pmod{f(x)} $$

である。

また $Q(x)$ については

$$ Q(x)\equiv x^2-2x+1 \equiv -ax-2x+1 =-(a+2)x+1 \pmod{f(x)} $$

である。

条件よりこれらの余りが等しいから、

$$ (a^2+a-1)x+1=-(a+2)x+1 $$

であり、$x$ の係数を比較して

$$ a^2+a-1=-(a+2) $$

すなわち

$$ a^2+2a+1=0 $$

となる。したがって

$$ (a+1)^2=0 $$

より

$$ a=-1 $$

である。

ゆえに

$$ f(x)=x^2-x $$

となる。したがって [ア] は $x^2-x$ である。

次に、このときの $P(x)$ の余りは

$$ (a^2+a-1)x+1=(1-1-1)x+1=1-x $$

だから

$$ P(x)\equiv 1-x \pmod{x^2-x} $$

である。

よって

$$ P(x)^3\equiv (1-x)^3 \pmod{x^2-x} $$

となる。ここで

$$ x^2\equiv x,\quad x^3\equiv x \pmod{x^2-x} $$

なので、

$$ (1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3 \equiv 1-3x+3x-x =1-x \pmod{x^2-x} $$

となる。

したがって $(x^3-x^2-x+1)^3$ を $f(x)$ で割った余りは

$$ 1-x $$

である。ゆえに [イ] は $1-x$ である。

解説

この問題の要点は、2次式 $f(x)$ で割った余りは1次式になることと、合同式

$$ x^2\equiv -ax \pmod{f(x)} $$

を使って高次の項を順に落とすことである。

最後の余りも、先に $x^3-x^2-x+1$ 自体の余りを求めてから3乗すればよく、展開後に再び $x^2\equiv x$ を使えば簡単に整理できる。

答え

**(ア)**

$x^2-x$

**(イ)**

$1-x$