解説

方針・初手

$x^2+x+1$ で割った余りだけを考えればよいので、

$$ f(x)\equiv 2x-1 \pmod{x^2+x+1} $$

を用いるのが最短である。

したがって、$f(x)$ を含む式も、まず $2x-1$ に置き換えてから $x^2+x+1=0$、すなわち

$$ x^2\equiv -x-1 \pmod{x^2+x+1} $$

で整理すればよい。

解法1

与えられた条件より、

$$ f(x)=q(x)(x^2+x+1)+(2x-1) $$

と表せる。よって

$$ f(x)\equiv 2x-1 \pmod{x^2+x+1} $$

である。

**(1)**

${f(x)}^2$ の余りを求める。

上の合同式を2乗して、

$$ {f(x)}^2\equiv (2x-1)^2=4x^2-4x+1 \pmod{x^2+x+1} $$

となる。

ここで $x^2+x+1\equiv 0$ より

$$ x^2\equiv -x-1 \pmod{x^2+x+1} $$

であるから、

$$ 4x^2-4x+1\equiv 4(-x-1)-4x+1=-8x-3 $$

となる。

したがって、${f(x)}^2$ を $x^2+x+1$ で割った余りは

$$ -8x-3 $$

である。

**(2)**

${f(x)}^2+af(x)+b$ が $x^2+x+1$ で割り切れるようにする。

まず、

$$ {f(x)}^2\equiv -8x-3 \pmod{x^2+x+1} $$

であり、また

$$ af(x)\equiv a(2x-1)=2ax-a \pmod{x^2+x+1} $$

であるから、

$$ {f(x)}^2+af(x)+b $$

の余りは

$$ (-8x-3)+(2ax-a)+b=(2a-8)x+(b-a-3) $$

である。

これが $x^2+x+1$ で割り切れるためには、余りが $0$ でなければならない。したがって

$$ \begin{cases} 2a-8=0\\ b-a-3=0 \end{cases} $$

を満たせばよい。

これを解くと、

$$ a=4,\qquad b=7 $$

となる。

解説

この問題の要点は、「ある多項式を $x^2+x+1$ で割った余りが分かっているなら、その多項式自身をその余りに置き換えてよい」という点にある。

特に、2次式 $x^2+x+1$ で割る問題では、$x^2\equiv -x-1$ として次数を下げる処理が基本である。

（2） では「割り切れる」という条件を、「余りが $0$ になる」と言い換えて係数比較をすれば一気に決まる。

答え

**(1)**

${f(x)}^2$ を $x^2+x+1$ で割った余りは

$$ -8x-3 $$

である。

**(2)**

求める値は

$$ a=4,\qquad b=7 $$

である。