解説

方針・初手

（1） は、$(x-a)^2$ で割り切れることを「$(x-a)$ を 2 回因数にもつこと」と見て、まず片方の向きは因数分解の形から直接示す。逆向きは整式の割り算を用いて、$f(a)=0$ からまず $(x-a)$ を因数にもつことを示し、さらに $f'(a)=0$ からもう 1 回 $(x-a)$ を因数にもつことを示せばよい。

（2） は （1） を $a=1$ の場合に適用すれば、$f_n(1)=0,\ f_n'(1)=0$ の連立方程式になる。

（3） は、（2） で求めた $f_n(x)$ を実際に $(x-1)^2$ の形に直す。等比数列の和や、係数をずらした和を使うと商がきれいに求まる。

解法1

**(1)**

まず、$f(x)$ が $(x-a)^2$ で割り切れるとする。このとき、ある整式 $g(x)$ を用いて

$$ f(x)=(x-a)^2g(x) $$

と書ける。

したがって

$$ f(a)=(a-a)^2g(a)=0 $$

である。また両辺を微分すると

$$ f'(x)=2(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x) $$

となるから、$x=a$ を代入して

$$ f'(a)=0 $$

を得る。よって、$(x-a)^2$ で割り切れるならば $f(a)=0,\ f'(a)=0$ である。

次に逆を示す。$f(a)=0,\ f'(a)=0$ とする。

$f(x)$ を $(x-a)$ で割ると、ある整式 $q(x)$ と定数 $r$ があって

$$ f(x)=(x-a)q(x)+r $$

と書ける。ここで $x=a$ を代入すると

$$ f(a)=r $$

であるから、$f(a)=0$ より $r=0$ である。したがって

$$ f(x)=(x-a)q(x) $$

となる。

これを微分すると

$$ f'(x)=q(x)+(x-a)q'(x) $$

であるから、$x=a$ を代入して

$$ f'(a)=q(a) $$

を得る。仮定より $f'(a)=0$ なので $q(a)=0$ である。よって、$q(x)$ は $(x-a)$ で割り切れ、ある整式 $h(x)$ を用いて

$$ q(x)=(x-a)h(x) $$

と書ける。

したがって

$$ f(x)=(x-a)q(x)=(x-a)^2h(x) $$

となるので、$f(x)$ は $(x-a)^2$ で割り切れる。

以上より、$f(x)$ が $(x-a)^2$ で割り切れるための必要十分条件は

$$ f(a)=0,\quad f'(a)=0 $$

である。

**(2)**

$$ f_n(x)=a_nx^{n+1}+b_nx^n+1 $$

が $(x-1)^2$ で割り切れるための必要十分条件は、（1） より

$$ f_n(1)=0,\quad f_n'(1)=0 $$

である。

まず

$$ f_n(1)=a_n+b_n+1 $$

であるから

$$ a_n+b_n+1=0 $$

を得る。

次に

$$ f_n'(x)=(n+1)a_nx^n+nb_nx^{n-1} $$

より

$$ f_n'(1)=(n+1)a_n+nb_n $$

であるから

$$ (n+1)a_n+nb_n=0 $$

を得る。

よって、$a_n,\ b_n$ は

$$ \begin{cases} a_n+b_n=-1\\ (n+1)a_n+nb_n=0 \end{cases} $$

を満たす。

下の式から上の式の $n$ 倍を引くと

$$ a_n=n $$

となる。これを $a_n+b_n=-1$ に代入して

$$ b_n=-(n+1) $$

を得る。

したがって

$$ a_n=n,\qquad b_n=-(n+1) $$

である。

**(3)**

（2） より

$$ f_n(x)=nx^{n+1}-(n+1)x^n+1 $$

である。

ここで

$$ Q_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} $$

とおく。このとき

$$ \begin{aligned} (x-1)Q_n(x) &=(x+2x^2+3x^3+\cdots+nx^n)\\ &\quad -(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1})\\ &=nx^n-(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}) \end{aligned} $$

となる。

さらに両辺に $(x-1)$ をかけると

$$ \begin{aligned} (x-1)^2Q_n(x) &=nx^n(x-1)-(x-1)(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1})\\ &=nx^{n+1}-nx^n-(x^n-1)\\ &=nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\\ &=f_n(x) \end{aligned} $$

となる。

したがって、$f_n(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの商は

$$ Q_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} $$

である。

解説

この問題の核は、重解と微分の関係である。$(x-a)^2$ を因数にもつとは、$x=a$ が 2 重根であることを意味し、その判定条件が $f(a)=0,\ f'(a)=0$ である。

（2） はこの判定条件をそのまま連立方程式に落とし込むだけであり、本質は （1） にある。

（3） は公式として覚えていてもよいが、実際には

$$ 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} $$

に $(x-1)$ をかけると係数がずれて多くの項が整理される、という見方が重要である。等比数列の和と係数つき和の組合せが典型処理である。

答え

**(1)**

$f(x)$ が $(x-a)^2$ で割り切れるための必要十分条件は

$$ f(a)=0,\qquad f'(a)=0 $$

である。

**(2)**

$$ a_n=n,\qquad b_n=-(n+1) $$

である。

**(3)**

$(x-1)^2$ で割ったときの商は

$$ 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} $$

である。