基礎問題集
数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題7 解説
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解説
方針・初手
$(x+1)^2$ で割り切れるということは、$x=-1$ がこの整式の重解であることを意味する。
したがって、整式 $f(x)=ax^3+bx^2-2$ について、
$$ f(-1)=0,\qquad f'(-1)=0 $$
を用いればよい。
解法1
$f(x)=ax^3+bx^2-2$ とおく。
$(x+1)^2$ で割り切れるので、$x=-1$ は $f(x)$ の重解である。よって
$$ f(-1)=0 $$
かつ
$$ f'(-1)=0 $$
が成り立つ。
まず、
$$ f(-1)=a(-1)^3+b(-1)^2-2=-a+b-2 $$
であるから、
$$ -a+b-2=0 $$
すなわち
$$ -a+b=2 $$
を得る。
次に、$f'(x)$ を求めると
$$ f'(x)=3ax^2+2bx $$
である。したがって、
$$ f'(-1)=3a(-1)^2+2b(-1)=3a-2b $$
より、
$$ 3a-2b=0 $$
を得る。
よって、$a,b$ は
$$ \begin{cases} -a+b=2 \\ 3a-2b=0 \end{cases} $$
を満たす。
第1式から
$$ b=a+2 $$
であるので、これを第2式に代入すると
$$ 3a-2(a+2)=0 $$
$$ a-4=0 $$
となり、
$$ a=4 $$
を得る。
さらに
$$ b=a+2=6 $$
である。
解説
$(x+1)^2$ で割り切れるという条件は、単に $x=-1$ を代入して $0$ になるだけでは不十分である。$(x+1)$ が2回掛かっているので、$x=-1$ が重解であることを使い、
$$ f(-1)=0,\qquad f'(-1)=0 $$
の2条件を立てるのが典型手法である。
答え
$a=4,\ b=6$ である。したがって、
**(ア)**
$4$
**(イ)**
$6$