基礎問題集

数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題8 解説

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数学2複素数と方程式因数定理･剰余の定理問題8

解説

$x^2-1$ で割った余りは、次数が $2$ 未満の整式である。

そこで、$x^2-1=0$ すなわち $x^2=1$ を利用して、$x^{99}$ を簡単にする。

$x^2-1$ で割ることを考えると、

$$ x^2 \equiv 1 \pmod{x^2-1} $$

である。

したがって、

$$ x^{99}=x\left(x^2\right)^{49} $$

より、

$$ x^{99} \equiv x\cdot 1^{49}=x \pmod{x^2-1} $$

となる。

よって、$x^{99}$ を $x^2-1$ で割った余りは

$$ x $$

である。

この問題では、$x^2-1$ で割るときに $x^2\equiv 1$ とみなせることが核心である。

高次の整式の余りを求めるときは、割る式から得られる関係式を使って次数を下げていくのが基本である。本問では $x^{99}=x(x^2)^{49}$ と変形すると、すぐに余りが求まる。

$x$