基礎問題集
数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題9 解説
数学2の複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」にある問題9の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$x^2-x-6$ は
$$ x^2-x-6=(x+2)(x-3) $$
と因数分解できる。
したがって、$P(x)$ を $x^2-x-6$ で割った余りは 1 次式
$$ R(x)=ax+b $$
とおける。あとは、$x=-2,3$ を代入して $R(x)$ を決めればよい。
解法1
$P(x)$ を $x^2-x-6$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)=ax+b$ とすると、
$$ P(x)=(x^2-x-6)Q(x)+R(x) $$
と書ける。
ここで
$$ x^2-x-6=(x+2)(x-3) $$
であるから、$x=-2,3$ を代入すると $x^2-x-6=0$ となる。よって
$$ P(-2)=R(-2),\qquad P(3)=R(3) $$
が成り立つ。
問題の条件より、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $3$ だから
$$ P(-2)=3 $$
であり、また $P(x)$ を $x-3$ で割った余りが $-1$ だから
$$ P(3)=-1 $$
である。
したがって
$$ R(-2)=3,\qquad R(3)=-1 $$
である。$R(x)=ax+b$ を代入すると、
$$ -2a+b=3 $$
$$ 3a+b=-1 $$
を得る。
この連立方程式を解くと、
$$ 5a=-4 $$
より
$$ a=-\frac45 $$
さらに
$$ 3\left(-\frac45\right)+b=-1 $$
より
$$ b=\frac75 $$
である。
したがって求める余りは
$$ R(x)=-\frac45x+\frac75 $$
である。
解説
2 次式で割った余りは、その次数より低い 1 次式になる。さらに、割る式が $(x+2)(x-3)$ と因数分解できるので、その零点 $x=-2,3$ を代入すれば余りの値が直接分かる。
この問題の要点は、余りの定理を 2 回使って 1 次式の係数を決めることである。
答え
求める余りは
$$ -\frac45x+\frac75 $$
である。