基礎問題集
数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題10 解説
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解説
方針・初手
$x+1$ で割り切れるという条件から、まず剰余の定理を用いて $f(-1)=0$ を立てるのが基本である。
そのうえで、$x^2-1=(x-1)(x+1)$ であるから、$x^2-1$ で割った余りを $px+q$ とおき、$x=1,-1$ を代入して $p,q$ を決めればよい。
解法1
$f(x)=x^n+2x^{n-1}-a$ が $x+1$ で割り切れるので、剰余の定理より
$$ f(-1)=0 $$
である。
ここで
$$ f(-1)=(-1)^n+2(-1)^{n-1}-a $$
であり、$(-1)^{n-1}=-(-1)^n$ であるから
$$ \begin{aligned} f(-1) &= (-1)^n-2(-1)^n-a \\ &= -(-1)^n-a \end{aligned} $$
したがって
$$ -(-1)^n-a=0 $$
より
$$ a=-(-1)^n= (-1)^{n+1} $$
となる。
よって、（1） の答えは
$$ a=(-1)^{n+1} $$
である。
次に、$f(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りを $px+q$ とおく。
すると
$$ f(x)=(x^2-1)Q(x)+px+q $$
と表せるので、$x=1,-1$ を代入すると
$$ f(1)=p+q,\qquad f(-1)=-p+q $$
を得る。
すでに $f(-1)=0$ であるから
$$ -p+q=0 $$
すなわち
$$ q=p $$
である。
また
$$ f(1)=1+2-a=3-a $$
であるから
$$ p+q=3-a $$
ここで $q=p$ より
$$ 2p=3-a $$
したがって
$$ p=q=\frac{3-a}{2} $$
となる。
よって余りは
$$ \frac{3-a}{2}x+\frac{3-a}{2} = \frac{3-a}{2}(x+1) $$
である。
さらに （1） の結果 $a=(-1)^{n+1}$ を代入すれば
$$ \text{余り}=\frac{3-(-1)^{n+1}}{2}(x+1) $$
となる。
すなわち、場合分けして書けば
**(i)**
$n$ が奇数のとき
$$ a=1 $$
より、余りは
$$ x+1 $$
**(ii)**
$n$ が偶数のとき
$$ a=-1 $$
より、余りは
$$ 2x+2 $$
である。
解説
この問題の核心は、$x+1$ で割り切れるという条件を $f(-1)=0$ に言い換えることである。
また、$x^2-1$ で割った余りは1次以下であるから、$px+q$ とおいて $x=1,-1$ を代入するのが最も直接的である。$x^2-1=(x-1)(x+1)$ という因数分解を見抜ければ、余りを2点で決定できる。
答え
**(1)**
$$ a=(-1)^{n+1} $$
**(2)**
$f(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りは
$$ \frac{3-(-1)^{n+1}}{2}(x+1) $$
である。
すなわち、
**(i)**
$n$ が奇数のとき
$$ x+1 $$
**(ii)**
$n$ が偶数のとき
$$ 2x+2 $$
である。