解説

方針・初手

まず

$$ P(x)=x^2+4x-5=(x-1)(x+5),\qquad Q(x)=2x^2-x-1=(x-1)(2x+1) $$

とおく。

条件は

$$ f(x)\equiv 4x-3 \pmod{P(x)},\qquad f(x)\equiv 5x-4 \pmod{Q(x)} $$

である。

このとき $P,Q$ は共通因子 $x-1$ をもつので、$f(x)$ は

$$ L(x)=\operatorname{lcm}(P(x),Q(x))=(x-1)(x+5)(2x+1) $$

を法として定まる。

したがって、$x+5$ で割った余りは剰余の定理で直接求まり、$2x^2+11x+6$ で割った余りが一意に定まるかどうかは $L(x)$ を法とした剰余で判定すればよい。

解法1

**(1)**

$x+5$ で割った余り

$x+5$ は $P(x)$ の因子であるから、

$$ f(-5)=4(-5)-3=-23 $$

である。

したがって、$f(x)$ を $x+5$ で割った余りは

$$ -23 $$

である。

**(2)**

$2x^2+11x+6$ で割った余り

$$ C(x)=2x^2+11x+6 $$

とおく。

$f(x)$ が条件を満たすとき、任意の多項式 $h(x)$ に対して

$$ F(x)=f(x)+L(x)h(x) $$

も同じ条件を満たす。

よって、$L(x)$ を $C(x)$ で割った余りが $0$ でなければ、$f(x)$ と $f(x)+L(x)$ は $C(x)$ で割った余りが異なり、余りは一意に定まらない。

そこで $L(x)$ を $C(x)$ で割った余りを求める。

$$ L(x)=(x-1)(x+5)(2x+1)=2x^3+9x^2-6x-5 $$

また

$$ C(x)=2x^2+11x+6\equiv 0 $$

より

$$ 2x^2\equiv -11x-6 \pmod{C(x)} $$

である。したがって

$$ 2x^3=x(2x^2)\equiv x(-11x-6)=-11x^2-6x \pmod{C(x)} $$

であり、さらに

$$ -11x^2\equiv -11\cdot \frac{-11x-6}{2}=\frac{121x+66}{2} \pmod{C(x)} $$

だから

$$ 2x^3\equiv \frac{109x+66}{2} \pmod{C(x)} $$

を得る。

よって

$$ \begin{aligned} L(x) &=2x^3+9x^2-6x-5 \\ &\equiv \frac{109x+66}{2}+\frac{-99x-54}{2}-6x-5 \\ &=1-x \pmod{C(x)}. \end{aligned} $$

$1-x\neq 0$ であるから、$L(x)$ は $C(x)$ で割り切れない。

したがって、$f(x)$ を $2x^2+11x+6$ で割った余りは一意に定まらない。

解説

この問題の要点は、2つの除式が互いに素ではなく、共通因子 $x-1$ をもつことである。

そのため、条件から $f(x)$ が一意に定まるわけではなく、最小公倍式

$$ L(x)=(x-1)(x+5)(2x+1) $$

を法としてしか定まらない。

$x+5$ で割った余りは、$x+5$ が $P(x)$ の因子なので $f(-5)$ を見ればただちに決まる。一方、$2x^2+11x+6$ については $L(x)$ を法とする自由度が残り、その自由度が実際に余りを変えてしまうので一意には決まらない。

答え

**(1)**

$x+5$ で割った余りは

$$ -23 $$

である。

**(2)**

$2x^2+11x+6$ で割った余りは一意に定まらない。