解説

方針・初手

求める余りを $R(x)$ とおくと、割る式が $(x-1)(x+1)^2$ で3次式であるから、$R(x)$ は2次以下の整式である。

また、$P$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $x-8$ であることから、$R(x)$ も $(x+1)^2$ で割ると $x-8$ を余りにもつ。この条件を使って $R(x)$ の形を先に絞るのが自然である。

解法1

$P$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割った余りを $R(x)$ とすると、

$$ P(x)=(x-1)(x+1)^2Q(x)+R(x) $$

と書け、$\deg R<3$ である。

ここで、$(x+1)^2$ で見れば

$$ P(x)\equiv R(x)\pmod{(x+1)^2} $$

である。一方、条件より

$$ P(x)\equiv x-8\pmod{(x+1)^2} $$

であるから、

$$ R(x)\equiv x-8\pmod{(x+1)^2} $$

となる。したがって、$R(x)-(x-8)$ は $(x+1)^2$ の倍数である。

$R(x)$ は2次以下なので、ある定数 $a$ を用いて

$$ R(x)=x-8+a(x+1)^2 $$

とおける。

さらに、$P$ を $x-1$ で割った余りが $5$ であるから、剰余の定理より

$$ P(1)=5 $$

である。また $P(1)=R(1)$ だから、

$$ R(1)=5 $$

である。これを代入すると

$$ 1-8+a(1+1)^2=5 $$

すなわち

$$ -7+4a=5 $$

より

$$ a=3 $$

となる。

よって

$$ R(x)=x-8+3(x+1)^2 $$

であり、整理して

$$ R(x)=x-8+3x^2+6x+3=3x^2+7x-5 $$

となる。

解法2

余りを

$$ R(x)=ax^2+bx+c $$

とおく。

$P$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $x-8$ であるから、

$$ P(x)-(x-8) $$

は $(x+1)^2$ で割り切れる。したがって

$$ P(-1)=-9,\qquad P'(-1)=1 $$

である。

また、$P(x)-R(x)$ は $(x-1)(x+1)^2$ で割り切れるので、

$$ R(1)=P(1)=5,\qquad R(-1)=P(-1)=-9,\qquad R'(-1)=P'(-1)=1 $$

を満たす。

これを $R(x)=ax^2+bx+c$ に代入すると、

$$ a+b+c=5 $$

$$ a-b+c=-9 $$

$$ -2a+b=1 $$

を得る。

最初の2式の差より

$$ 2b=14 $$

ゆえに

$$ b=7 $$

これを $-2a+b=1$ に代入して

$$ -2a+7=1 $$

より

$$ a=3 $$

さらに

$$ 3+7+c=5 $$

より

$$ c=-5 $$

である。

したがって余りは

$$ R(x)=3x^2+7x-5 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$P$ 自体を求める必要はなく、余り $R(x)$ だけを直接決めればよいという点にある。

特に「$(x+1)^2$ で割った余りが $x-8$」という条件は、求める余り $R(x)$ についてもそのまま成り立つ。したがって、まず

$$ R(x)=x-8+a(x+1)^2 $$

と置いてしまえば、あとは $x=1$ を代入するだけで決着する。

答え

余りは

$$ 3x^2+7x-5 $$

である。