解説

方針・初手

$x+1$ で割り切れるという条件から、まず剰余の定理を用いて $f(-1)=0$ を立てる。これにより $a$ が決まる。

次に、$x^2-1=(x-1)(x+1)$ で割った余りは $1$ 次以下の式になるので、その余りを $r(x)=px+q$ とおき、$x=1,-1$ を代入して決めるのが最も自然である。

解法1

$x+1$ で $f(x)$ が割り切れるから、剰余の定理より

$$ f(-1)=0 $$

である。

ここで

$$ f(x)=x^n+2x^{n-1}-a $$

より、

$$ \begin{aligned} f(-1) &=(-1)^n+2(-1)^{n-1}-a \\ &=(-1)^{n-1}(-1+2)-a \\ &=(-1)^{n-1}-a \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ (-1)^{n-1}-a=0 $$

より、

$$ a=(-1)^{n-1} $$

である。

つぎに、$f(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りを $r(x)$ とすると、$r(x)$ は $1$ 次以下の式であるから

$$ r(x)=px+q $$

とおける。

$ x^2-1=(x-1)(x+1)$ なので、$x=1,-1$ を代入すると

$$ r(1)=f(1), \quad r(-1)=f(-1) $$

が成り立つ。

すでに $f(-1)=0$ であるから

$$ r(-1)=0 $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} f(1) &=1+2-a \\ &=3-a \end{aligned} $$

より

$$ r(1)=3-a $$

である。

したがって

$$ \begin{cases} p+q=3-a \\ -p+q=0 \end{cases} $$

となるので、これを解いて

$$ p=q=\frac{3-a}{2} $$

を得る。よって余りは

$$ r(x)=\frac{3-a}{2}(x+1) $$

である。

（1） で求めた $a=(-1)^{n-1}$ を代入すると、余りは

$$ \frac{3-(-1)^{n-1}}{2}(x+1) $$

となる。

さらに偶奇で書き分けると、

**(i)**

$n$ が奇数のとき $a=1$ だから、余りは

$$ x+1 $$

**(ii)**

$n$ が偶数のとき $a=-1$ だから、余りは

$$ 2x+2 $$

である。

解説

この問題の要点は、「$x+1$ で割り切れる」からすぐに $x=-1$ を代入することである。これは剰余の定理の典型的な使い方である。

また、$x^2-1$ で割った余りを求めるときは、余りを $1$ 次式とおいて $x=1,-1$ の値を合わせると、計算が最短で済む。$x^2\equiv 1 \pmod{x^2-1}$ を使って整理してもよいが、この問題では $f(-1)=0$ がすでに分かっているため、値を利用する方法が見通しがよい。

答え

$$ \text{(1)}\ a=(-1)^{n-1} $$

$$ \text{(2)}\ \frac{3-(-1)^{n-1}}{2}(x+1) $$

すなわち、

$$ \begin{cases} n \text{ が奇数のとき } x+1 \\ n \text{ が偶数のとき } 2x+2 \end{cases} $$