基礎問題集
数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題15 解説
数学2の複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」にある問題15の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
余りが $x+1$ であるから、
$$ 4x^3-2x^2-9x+7=AB+(x+1) $$
である。したがって
$$ AB=4x^3-2x^2-10x+6 $$
となる。
また、余りの次数は $1$ なので、割る式 $A$ の次数は少なくとも $2$ である。一方、$A+B=2x^2+4x-5$ は2次式であるから、$A$ は2次式、$B$ は1次式と分かる。これを文字でおいて係数比較すればよい。
解法1
$A$ を2次式、$B$ を1次式として
$$ A=2x^2+px+q,\qquad B=rx+s $$
とおく。
$A+B=2x^2+4x-5$ より、
$$ p+r=4,\qquad q+s=-5 $$
である。
また、
$$ AB=4x^3-2x^2-10x+6 $$
より、
$$ (2x^2+px+q)(rx+s)=4x^3-2x^2-10x+6 $$
である。左辺を展開すると
$$ 2rx^3+(2s+pr)x^2+(ps+qr)x+qs $$
となるから、係数比較により
$$ 2r=4 $$
すなわち
$$ r=2 $$
である。
さらに $p+r=4$ から
$$ p=2 $$
となる。
次に $x^2$ の係数を比べると
$$ 2s+pr=-2 $$
であり、$p=2,\ r=2$ を代入して
$$ 2s+4=-2 $$
したがって
$$ s=-3 $$
である。
すると $q+s=-5$ より
$$ q-3=-5 $$
となるので、
$$ q=-2 $$
を得る。
よって
$$ A=2x^2+2x-2,\qquad B=2x-3 $$
である。
確認すると、
$$ AB=(2x^2+2x-2)(2x-3)=4x^3-2x^2-10x+6 $$
であるから、
$$ AB+(x+1)=4x^3-2x^2-9x+7 $$
となり条件を満たす。
解説
この問題の要点は、まず「余りが $x+1$」という条件から $AB$ を取り出すことである。これにより $A+B$ と $AB$ の両方が分かる。
さらに、余りの次数が $1$ なので割る式 $A$ は少なくとも2次式であり、$A+B$ が2次式であることと合わせると、$A$ が2次式、$B$ が1次式と確定する。ここまで見抜ければ、あとは文字をおいて係数比較するだけである。
答え
$$ A=2x^2+2x-2,\qquad B=2x-3 $$