解説

方針・初手

$(x-1)(x-2)$ で割ったときの余りは1次式である。したがって、余りを $px+q$ とおき、$x=1,2$ を代入して値を一致させればよい。

ここで、$(x-1)^3$ で割ったときの余りが $ax^2+bx+c$ であるから、特に $x=1$ における $f(1)$ が分かる。また、$x-2$ で割ったときの余りが $d$ であるから、$f(2)=d$ も分かる。

解法1

$f(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの余りを

$$ r(x)=px+q $$

とおく。

このとき

$$ f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+r(x) $$

と表せるので、$x=1,2$ を代入すると

$$ r(1)=f(1),\qquad r(2)=f(2) $$

が成り立つ。

まず、$f(x)$ を $(x-1)^3$ で割ったときの余りが $ax^2+bx+c$ であるから、

$$ f(x)=(x-1)^3A(x)+ax^2+bx+c $$

と書ける。ここで $x=1$ を代入すると

$$ f(1)=a+b+c $$

である。

また、$x-2$ で割ったときの余りが $d$ であるから、余りの定理より

$$ f(2)=d $$

である。

したがって余り $r(x)=px+q$ は

$$ r(1)=a+b+c,\qquad r(2)=d $$

を満たす。

よって

$$ \begin{aligned} p+q&=a+b+c,\\ 2p+q&=d \end{aligned} $$

となるので、差をとって

$$ p=d-(a+b+c) $$

さらに

$$ q=(a+b+c)-p=2(a+b+c)-d $$

を得る。

したがって求める余りは

$$ {d-(a+b+c)}x+2(a+b+c)-d $$

である。

解法2

余りを1次式 $r(x)$ とすると、$r(1)=f(1)$、$r(2)=f(2)$ を満たす1次式は2点 $(1,f(1)),(2,f(2))$ を通る直線である。

すでに

$$ f(1)=a+b+c,\qquad f(2)=d $$

であるから、1次補間の形で

$$ r(x)=(a+b+c)\cdot \frac{x-2}{1-2}+d\cdot \frac{x-1}{2-1} $$

と書ける。

これを整理すると

$$ \begin{aligned} r(x)&=-(a+b+c)(x-2)+d(x-1)\\ &={d-(a+b+c)}x+2(a+b+c)-d \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の本質は、余りそのものを直接求めようとするのではなく、余りの定理を使って $f(1)$ と $f(2)$ を取り出す点にある。

$(x-1)(x-2)$ で割った余りは1次式なので、2点での値が分かれば一意に定まる。したがって、$(x-1)^3$ で割ったときの情報から $f(1)$ を、$x-2$ で割ったときの情報から $f(2)$ を求めれば十分である。

答え

求める余りは

$$ {d-(a+b+c)}x+2(a+b+c)-d $$

である。