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数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題17 解説

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数学2複素数と方程式因数定理･剰余の定理問題17

解説

$x^2-1$ で割ったときの余りは、次数が $2$ 未満であるから $ax+b$ とおける。

そこで

$$ (x+1)^{12}=(x^2-1)Q(x)+ax+b $$

とおき、$x^2-1=0$ となる $x=1,-1$ を代入して $a,b$ を求める。

余りを $ax+b$ とおくと、

$$ (x+1)^{12}=(x^2-1)Q(x)+ax+b $$

である。

ここで $x=1$ を代入すると、

$$ (1+1)^{12}=a+b $$

より

$$ a+b=2^{12}=4096 $$

を得る。

次に $x=-1$ を代入すると、

$$ (-1+1)^{12}=-a+b $$

より

$$ 0=-a+b $$

すなわち

$$ a=b $$

である。

したがって、

$$ a=b=2048 $$

となるから、求める余りは

$$ 2048x+2048 $$

である。

割る式が $x^2-1=(x-1)(x+1)$ であるとき、$x=1,-1$ は割る式を $0$ にする値である。したがって、余りを $ax+b$ とおけば、これらの値を代入することで $a,b$ を連立方程式で決定できる。

余りの次数が割る式の次数未満になることを最初に押さえるのが基本である。

$$ 2048x+2048 $$