基礎問題集
数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題18 解説
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解説
方針・初手
$(x+1)(x-2)$ で割った余りは、次数が $2$ 未満の整式であるから、一次式 $ax+b$ とおける。
あとは、$x+1$ で割った余りと $x-2$ で割った余りの条件を使って、$a,b$ を決めればよい。
解法1
$P(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りを
$$ R(x)=ax+b $$
とおく。
このとき
$$ P(x)=(x+1)(x-2)Q(x)+R(x) $$
と表せる。
ここで $x=-1$ を代入すると、$(x+1)(x-2)$ の項は $0$ になるので
$$ P(-1)=R(-1) $$
である。
問題より、$P(x)$ を $x+1$ で割った余りは $1$ だから
$$ P(-1)=1 $$
したがって
$$ R(-1)=-a+b=1 $$
を得る。
同様に、$x=2$ を代入すると
$$ P(2)=R(2) $$
である。
問題より、$P(x)$ を $x-2$ で割った余りは $4$ だから
$$ P(2)=4 $$
したがって
$$ R(2)=2a+b=4 $$
を得る。
よって、$a,b$ について
$$ \begin{cases} -a+b=1\\ 2a+b=4 \end{cases} $$
を解けばよい。
2式の差をとると
$$ 3a=3 $$
より
$$ a=1 $$
これを $-a+b=1$ に代入して
$$ -1+b=1 $$
より
$$ b=2 $$
したがって余りは
$$ R(x)=x+2 $$
である。
解説
$(x+1)(x-2)$ で割った余りは一次式になる、というのが最初の着眼点である。
また、$x+1$ で割った余りは $P(-1)$、$x-2$ で割った余りは $P(2)$ に対応する。これは剰余の定理の基本的な使い方であり、この種の問題では最も重要である。
答え
余りは
$$ x+2 $$
である。