解説

方針・初手

$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ であるから、$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの余りは、$(x-1)(x-2)$ を因数にもたない部分だけを見ればよい。

与えられた形では

$$ P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d $$

であり、前の2項は $(x-1)(x-2)$ を因数にもつ。したがって余りは $c(x-1)+d$ である。ここをまず使って $c,d$ を決め、そのあと $P(0),P(3)$ を用いて $a,b$ を求める。

解法1

$(x-1)(x-2)$ で割ったときの余りが $2x$ であるから、

$$ c(x-1)+d=2x $$

が成り立つ。

左辺を整理すると

$$ c(x-1)+d=cx-c+d $$

であるから、係数を比較して

$$ c=2,\quad -c+d=0 $$

よって

$$ c=2,\quad d=2 $$

である。

次に $P(0)=-1$ を用いる。

$$ P(0)=a(-1)(-2)(-3)+b(-1)(-2)+c(-1)+d $$

ここに $c=2,\ d=2$ を代入すると

$$ P(0)=-6a+2b-2+2=-6a+2b $$

したがって

$$ -6a+2b=-1 $$

を得る。

さらに $P(3)=4$ を用いると、

$$ P(3)=a(2)(1)(0)+b(2)(1)+c(2)+d $$

より

$$ P(3)=0+2b+4+2=2b+6 $$

これが $4$ に等しいので

$$ 2b+6=4 $$

すなわち

$$ b=-1 $$

である。

これを

$$ -6a+2b=-1 $$

に代入すると

$$ -6a+2(-1)=-1 $$

$$ -6a-2=-1 $$

$$ -6a=1 $$

$$ a=-\frac16 $$

となる。

最後に $P'(3)$ を求める。

$$ P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d $$

を微分すると

$$ P'(x)=a\frac{d}{dx}{(x-1)(x-2)(x-3)}+b\frac{d}{dx}{(x-1)(x-2)}+c $$

である。

ここで

$$ (x-1)(x-2)(x-3)=(x-3)(x-1)(x-2) $$

とみると、$x=3$ において

$$ \frac{d}{dx}{(x-1)(x-2)(x-3)}\Big|_{x=3}=(3-1)(3-2)=2 $$

また

$$ \frac{d}{dx}{(x-1)(x-2)}=2x-3 $$

より

$$ \frac{d}{dx}{(x-1)(x-2)}\Big|_{x=3}=3 $$

である。

したがって

$$ P'(3)=2a+3b+c $$

となるので、$a=-\dfrac16,\ b=-1,\ c=2$ を代入して

$$ P'(3)=2\left(-\frac16\right)+3(-1)+2 $$

$$ =-\frac13-3+2 $$

$$ =-\frac43 $$

である。

解説

この問題の要点は、与えられた式が $(x-1),(x-2),(x-3)$ を意識した形にすでに分解されていることである。

特に $(x-1)(x-2)$ で割る場面では、その倍数である項は余りに影響しない。したがって余りを求める操作が、実質的には $c(x-1)+d$ の比較だけで済む。ここに気づけば計算はかなり軽くなる。

また、$x=3$ を代入すると第1項が消え、係数決定も素直に進む。式の形に合わせて、どの値を代入するとどの項が消えるかを見るのが重要である。

答え

$$ a=-\frac16,\quad b=-1,\quad c=2,\quad d=2 $$

$$ P'(3)=-\frac43 $$

したがって、

$$ [カ]=-\frac16,\quad [キ]=-1,\quad [ク]=2,\quad [ケ]=2,\quad [コ]=-\frac43 $$