基礎問題集
数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題20 解説
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解説
方針・初手
まず （1） で整式の割り算を行い、
$$ x^3+3x^2-14x+6=(x^2-2x)Q(x)+R(x) $$
の形に直す。
その結果を $x=a$ に代入すると、$X$ と $Y$ の関係式が得られる。ここで $a$ は無理数であり、しかも $X,Y$ は有理数であるから、$a$ を含む項の係数に注目すると値が決まる。
解法1
**(1)**
$x^3+3x^2-14x+6$ を $x^2-2x$ で割る。
商を $x+5$ とすると、
$$ (x^2-2x)(x+5)=x^3+3x^2-10x $$
である。したがって余りは
$$ (x^3+3x^2-14x+6)-(x^3+3x^2-10x)=-4x+6 $$
となる。
よって
$$ x^3+3x^2-14x+6=(x^2-2x)(x+5)+(-4x+6) $$
であり、商は $x+5$、余りは $-4x+6$ である。
（2） 上の式に $x=a$ を代入する。
$$ a^3+3a^2-14a+6=(a^2-2a)(a+5)+(-4a+6) $$
すなわち
$$ X=Y(a+5)-4a+6 $$
であるから、
$$ X=a(Y-4)+5Y+6 $$
を得る。
ここで $X,Y$ はともに有理数であり、$a$ は無理数である。したがって $a(Y-4)$ も有理数でなければならない。
もし $Y-4\neq 0$ なら、$Y-4$ は 0 でない有理数だから、
$$ a=\frac{X-(5Y+6)}{Y-4} $$
となり、$a$ は有理数になってしまう。これは矛盾する。
よって
$$ Y-4=0 $$
すなわち
$$ Y=4 $$
である。
したがって
$$ X=5Y+6=5\cdot 4+6=26 $$
となる。
**(3)**
$Y=4$ を $Y=a^2-2a$ に代入すると、
$$ a^2-2a=4 $$
より
$$ a^2-2a-4=0 $$
となる。これを解いて
$$ a=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5} $$
を得る。
$a$ は正の無理数であるから、
$$ a=1+\sqrt{5} $$
である。
解説
この問題の核心は、整式の割り算そのものではなく、**割り算の結果を $x=a$ に代入して $X$ を $Y$ と $a$ で表すこと**にある。
実際、
$$ X=a(Y-4)+5Y+6 $$
まで変形できれば、$X,Y$ が有理数で $a$ が無理数という条件から、$a$ の係数 $Y-4$ は 0 でなければならないと分かる。無理数条件を直接使うのがポイントである。
答え
**(1)**
商は $x+5$、余りは $-4x+6$
**(2)**
$$ X=26,\qquad Y=4 $$
**(3)**
$$ a=1+\sqrt{5} $$