基礎問題集

数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題21 解説

数学2の複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」にある問題21の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学2複素数と方程式因数定理･剰余の定理問題21

解説

$x^2+1$ で割った余りは、次数が $2$ 未満の整式である。したがって、$x^2+1=0$ すなわち $x^2=-1$ という関係を用いて、$x^{2011}$ を次数 $1$ 以下にまで落とせばよい。

$x^2+1$ で割った余りを考えるとき、

$$ x^2 \equiv -1 \pmod{x^2+1} $$

が成り立つ。

したがって、

$$ x^{2011}=x\left(x^2\right)^{1005} $$

より、

$$ x^{2011} \equiv x(-1)^{1005}=-x \pmod{x^2+1} $$

となる。

余りは次数が $2$ 未満であり、$-x$ はすでにその形になっているので、求める余りは $-x$ である。

この種の問題では、割る式 $x^2+1$ から得られる関係 $x^2=-1$ を使って、高次の整式を低次に簡単化するのが基本である。

今回は指数 $2011$ が奇数なので、最後に $x$ が $1$ 個残り、符号は $(-1)^{1005}=-1$ によって負になる。

余りは

$$ -x $$

である。