解説

方針・初手

$x-1$ で割る余りは剰余の定理で $x=1$ を代入すればよい。

また、$x^2$ で割る余りは $1$ 次以下の多項式であるから、$(x+2)^n$ や $P(x)$ を $x$ の定数項と $1$ 次の項まで見ればよい。

最後の $x^2(x-1)$ で割る問題は、$x^2$ で割った余りと $x-1$ で割った余りの両方を満たす $2$ 次以下の多項式を作ればよい。

解法1

**(1)**

$P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余り

剰余の定理より、$P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りは $P(1)$ である。

$$ P(1)=(1+1)(1+2)^n=2\cdot 3^n $$

したがって、余りは

$$ 2\cdot 3^n $$

である。

**(2)**

$(x+2)^n$ を $x^2$ で割ったときの余り

$x^2$ で割った余りは $1$ 次以下であるから、$(x+2)^n$ を定数項と $x$ の項まで求めればよい。

二項定理より

$$ (x+2)^n =\sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k}2^{,n-k}x^k $$

である。このうち $x^2$ 未満の項だけを取れば

$$ (x+2)^n=2^n+n2^{,n-1}x+x^2(\cdots) $$

となる。

したがって、余りは

$$ 2^n+n2^{,n-1}x $$

である。

**(3)**

$P(x)$ を $x^2$ で割ったときの余り

$P(x)=(x+1)(x+2)^n$ であり、（2） より

$$ (x+2)^n \equiv 2^n+n2^{,n-1}x \pmod{x^2} $$

である。よって

$$ P(x)\equiv (x+1)\bigl(2^n+n2^{,n-1}x\bigr)\pmod{x^2} $$

これを展開すると

$$ \begin{aligned} (x+1)\bigl(2^n+n2^{,n-1}x\bigr) &=2^n+\bigl(2^n+n2^{,n-1}\bigr)x+n2^{,n-1}x^2 \end{aligned} $$

したがって、$x^2$ 未満の項だけ残せば余りは

$$ 2^n+\bigl(2^n+n2^{,n-1}\bigr)x $$

すなわち

$$ 2^n+(n+2)2^{,n-1}x $$

である。

**(4)**

$P(x)$ を $x^2(x-1)$ で割ったときの余り

余りを $R(x)$ とすると、$\deg R \le 2$ である。

まず、$x^2$ で割った余りは （3） より

$$ 2^n+(n+2)2^{,n-1}x $$

であるから、$R(x)$ はこれと $x^2$ を法として一致する。したがって

$$ R(x)=2^n+(n+2)2^{,n-1}x+ax^2 $$

とおける。

次に、$x-1$ でも割り切れるように $R(1)=P(1)$ を満たせばよい。（1） より

$$ P(1)=2\cdot 3^n $$

であるから、

$$ \begin{aligned} R(1) &=2^n+(n+2)2^{,n-1}+a \\ &=(n+4)2^{,n-1}+a \end{aligned} $$

これが $2\cdot 3^n$ に等しいので

$$ a=2\cdot 3^n-(n+4)2^{,n-1} $$

したがって、求める余りは

$$ \Bigl(2\cdot 3^n-(n+4)2^{,n-1}\Bigr)x^2+(n+2)2^{,n-1}x+2^n $$

である。

解説

この問題の要点は、割る式に応じて余りの形を先に決めることである。

$x-1$ で割るときは剰余の定理、$x^2$ で割るときは定数項と $1$ 次の項だけを見ればよい。最後の （4） では、$x^2$ で割った余りの情報と $x=1$ での値の情報を組み合わせるのが本質である。

特に、$x^2$ で割った余りを先に求めておくと、$x^2(x-1)$ で割った余りは「その余りに $ax^2$ を足した形」とすぐに分かるので、計算が整理しやすい。

答え

$$ \text{(1)}\quad 2\cdot 3^n $$

$$ \text{(2)}\quad 2^n+n2^{,n-1}x $$

$$ \text{(3)}\quad 2^n+(n+2)2^{,n-1}x $$

$$ \text{(4)}\quad \Bigl(2\cdot 3^n-(n+4)2^{,n-1}\Bigr)x^2+(n+2)2^{,n-1}x+2^n $$