解説

方針・初手

$p(1)=1,\ p(2)=2,\ p(3)=3$ という条件は、$p(x)-x$ が $x=1,2,3$ を解にもつことを意味する。

そこで

$$ q(x)=p(x)-x $$

とおくと、$q(x)$ は3次式であり、しかも $q(1)=q(2)=q(3)=0$ であるから、$q(x)$ は $(x-1)(x-2)(x-3)$ に一致する。この形に直せば、$a,b,c$ がすぐに求まる。

解法1

$p(x)=x^3+ax^2+bx+c$ であるから、

$$ q(x)=p(x)-x=x^3+ax^2+(b-1)x+c $$

である。

条件 $p(1)=1,\ p(2)=2,\ p(3)=3$ より、

$$ q(1)=q(2)=q(3)=0 $$

となる。

$q(x)$ は3次式で、$1,2,3$ を解にもつので、

$$ q(x)=(x-1)(x-2)(x-3) $$

である。

右辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} (x-1)(x-2)(x-3) &=(x^2-3x+2)(x-3)\\ &=x^3-6x^2+11x-6 \end{aligned} $$

したがって、

$$ x^3+ax^2+(b-1)x+c=x^3-6x^2+11x-6 $$

であるから、係数を比較して

$$ a=-6,\quad b-1=11,\quad c=-6 $$

よって、

$$ a=-6,\quad b=12,\quad c=-6 $$

となる。

次に、$p(x)$ を $x-4$ で割ったときの余りは剰余の定理より $p(4)$ である。

$$ \begin{aligned} p(4) &=4^3-6\cdot 4^2+12\cdot 4-6\\ &=64-96+48-6\\ &=10 \end{aligned} $$

したがって、余りは $10$ である。

さらに、$p(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの余りを $r(x)$ とすると、$r(x)$ は1次以下の式である。

また、

$$ p(1)=r(1)=1,\qquad p(2)=r(2)=2 $$

を満たすので、$r(x)=mx+n$ とおけば

$$ \begin{cases} m+n=1\\ 2m+n=2 \end{cases} $$

となる。これを解くと

$$ m=1,\quad n=0 $$

であるから、

$$ r(x)=x $$

である。

解説

この問題の核心は、条件 $p(1)=1,\ p(2)=2,\ p(3)=3$ をそのまま3本の連立方程式として処理するのではなく、$p(x)-x$ を考えることである。

すると、$x=1,2,3$ が根になる3次式になるので、$(x-1)(x-2)(x-3)$ と一気に決まる。こうした「与えられた値と入力が同じなら、差をとる」という発想は典型的である。

また、$(x-1)(x-2)$ で割った余りは1次以下であり、$x=1,2$ での値が一致することから決められる。これも余りの決定で頻出の考え方である。

答え

$$ [ア]=-6,\quad [イ]=12,\quad [ウ]=-6 $$

$$ [エ]=10 $$

$$ [オ]=x $$