解説

方針・初手

余りと割る式の因数から、まず $A(-1),A(2),A(-3)$ を求める。

すると、$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ や $B(x)=(x+1)(x-2)(x+3)$ で割った余りは、各根での値を一致させる一次式・二次式として決まる。

最後は $A(x)=B(x)Q(x)+R(x)$ とおき、条件 [1] の $(x+1)^2$ での余りを使って $Q(-1)$ を求めればよい。

解法1

条件 [1] より、

$$ A(x)=(x+1)^2P(x)+3x+8 $$

と書けるから、

$$ A(-1)=3(-1)+8=5 $$

である。よってアは $5$ である。

また条件 [2] より、

$$ A(x)=(x^2+x-6)Q(x)+(-x+16) $$

である。ここで $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ だから、$x=2$ を代入して

$$ A(2)=-2+16=14 $$

となる。よってイは $14$ である。

次に、$A(x)$ を $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ で割った余りを $R_1(x)=ax+b$ とおく。

すると

$$ R_1(-1)=A(-1)=5,\qquad R_1(2)=A(2)=14 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} -a+b&=5,\\ 2a+b&=14 \end{aligned} $$

より $a=3,\ b=8$ である。したがって

$$ R_1(x)=3x+8 $$

となる。よってウは $3x+8$ である。

つぎに

$$ B(x)=x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x-2)(x+3) $$

である。$A(x)$ を $B(x)$ で割った余りを $R_2(x)$ とすると、$\deg R_2\le 2$ であり、

$$ R_2(-1)=A(-1)=5,\qquad R_2(2)=A(2)=14,\qquad R_2(-3)=A(-3) $$

を満たす。条件 [2] から

$$ A(-3)=-(-3)+16=19 $$

であるから、

$$ R_2(-1)=5,\qquad R_2(2)=14,\qquad R_2(-3)=19 $$

である。

すでに $x=-1,2$ で $3x+8$ が一致するので、

$$ R_2(x)=3x+8+k(x+1)(x-2) $$

とおける。これに $x=-3$ を代入すると

$$ 19=-1+10k $$

より $k=2$ である。したがって

$$ R_2(x)=3x+8+2(x+1)(x-2)=2x^2+x+4 $$

となる。よってエは $2x^2+x+4$ である。

ここで

$$ A(x)=B(x)S(x)+(2x^2+x+4) $$

とおく。条件 [1] の余り $3x+8$ との差をとると

$$ A(x)-(3x+8)=B(x)S(x)+2x^2-2x-4 $$

であり、

$$ 2x^2-2x-4=2(x+1)(x-2) $$

だから

$$ A(x)-(3x+8)=(x+1)(x-2){(x+3)S(x)+2} $$

となる。左辺は条件 [1] より $(x+1)^2$ で割り切れるので、

$$ (x+3)S(x)+2 $$

は $x+1$ で割り切れる。よって $x=-1$ を代入して

$$ 2S(-1)+2=0 $$

すなわち

$$ S(-1)=-1 $$

となる。これは、$A(x)$ を $B(x)$ で割った商をさらに $x+1$ で割った余りに等しい。よってオは $-1$ である。

最後に、条件 (1), (2) を満たす $A(x)$ のうち次数が最も低いものを求める。

$A(x)=B(x)S(x)+(2x^2+x+4)$ で、しかも $S(-1)=-1$ であるから、$\deg A$ を最小にするには $S(x)$ を定数 $-1$ ととればよい。したがって

$$ \begin{aligned} A(x)&=-B(x)+(2x^2+x+4)\\ &=-(x^3+2x^2-5x-6)+(2x^2+x+4)\\ &=-x^3+6x+10 \end{aligned} $$

となる。よってカは $-x^3+6x+10$ である。

解説

この問題の要点は、余りの情報を「割る式の根における値」として読むことである。

$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ や $B(x)=(x+1)(x-2)(x+3)$ で割った余りは、それぞれ $x=-1,2,-3$ での値を一致させることで決まる。

また、$(x+1)^2$ で割った余りが与えられているので、単に $A(-1)$ が分かるだけでなく、差 $A(x)-(3x+8)$ が $(x+1)^2$ を因数にもつことも使える。これにより、商をさらに $x+1$ で割った余りまで求められる。

最後の最小次数は、$A(x)=B(x)S(x)+R_2(x)$ と表したとき、必要条件 $S(-1)=-1$ を満たす最も単純な $S(x)$ を選ぶことで決まる。

答え

**(1)**

$$ A(-1)=5,\qquad A(2)=14 $$

したがって、

$$ A(x)\text{ を }x^2-x-2\text{ で割った余り }=3x+8 $$

である。よって

$$ \text{ア}=5,\qquad \text{イ}=14,\qquad \text{ウ}=3x+8 $$

**(2)**

$$ A(x)\text{ を }B(x)=x^3+2x^2-5x-6\text{ で割った余り }=2x^2+x+4 $$

また、その商をさらに $x+1$ で割った余りは

$$ -1 $$

である。よって

$$ \text{エ}=2x^2+x+4,\qquad \text{オ}=-1 $$

**(3)**

条件を満たす最小次数の整式は

$$ A(x)=-x^3+6x+10 $$

である。よって

$$ \text{カ}=-x^3+6x+10 $$