基礎問題集
数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題25 解説
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解説
方針・初手
割る式は
$$ x^3-x=x(x-1)(x+1) $$
と因数分解できる。したがって、余りを $ax^2+bx+c$ とおき、$x=0,1,-1$ を代入して係数を決めるのが最も速い。
解法1
求める余りを
$$ R(x)=ax^2+bx+c $$
とおく。
もとの多項式を
$$ P(x)=4x^{101}+3x^{100}-2x^{99}+1 $$
とすると、$P(x)$ を $x^3-x$ で割った余りが $R(x)$ であるから、
$$ P(0)=R(0),\quad P(1)=R(1),\quad P(-1)=R(-1) $$
が成り立つ。
まず $x=0$ を代入すると、
$$ P(0)=1 $$
より
$$ R(0)=c=1 $$
である。
次に $x=1$ を代入すると、
$$ P(1)=4+3-2+1=6 $$
であるから、
$$ R(1)=a+b+c=6 $$
すなわち
$$ a+b+1=6 $$
より
$$ a+b=5 $$
である。
さらに $x=-1$ を代入すると、
$$ P(-1)=4(-1)^{101}+3(-1)^{100}-2(-1)^{99}+1 $$
であり、奇数乗と偶数乗に注意して計算すると
$$ P(-1)=-4+3+2+1=2 $$
となる。したがって、
$$ R(-1)=a-b+c=2 $$
すなわち
$$ a-b+1=2 $$
より
$$ a-b=1 $$
である。
ここで
$$ \begin{cases} a+b=5\\ a-b=1 \end{cases} $$
を解くと、
$$ a=3,\quad b=2 $$
を得る。さらに $c=1$ であったから、
$$ R(x)=3x^2+2x+1 $$
である。
解説
割る式が $x(x-1)(x+1)$ のように一次式の積に分解できるときは、余りを二次式とおいて根 $0,1,-1$ を代入する方法が典型である。
高次のべき $x^{101},x^{100},x^{99}$ を直接処理しようとすると重いが、この方法なら値を3回計算するだけで済む。剰余の定理の応用として非常に重要な形である。
答え
余りは
$$ 3x^2+2x+1 $$
である。