解説

方針・初手

余り $R(x)$ は、割る式の次数が $3$ であるから高々 $2$ 次である。したがって、まず整式の割り算を文字 $a$ を含んだまま実行し、余りの $x$ の係数を $1$ とおいて $a$ を定めればよい。

解法1

与えられた整式を

$$ P(x)=x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2, \qquad D(x)=x^3+x^2+x+1 $$

とおく。

$P(x)$ を $D(x)$ で割る。

まず、最高次の項に注目すると

$$ x^5 \div x^3=x^2 $$

であるから、商の最初の項は $x^2$ である。

$$ P(x)-x^2D(x) $$

を計算すると、

$$ \begin{aligned} &\left(x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2\right) -\left(x^5+x^4+x^3+x^2\right) \\ &=x^4+(a-1)x^3+2x^2+3x+2 \end{aligned} $$

となる。

次に、

$$ x^4 \div x^3=x $$

であるから、商に $x$ を加える。すると

$$ \left(x^4+(a-1)x^3+2x^2+3x+2\right)-xD(x) $$

は

$$ \begin{aligned} &\left(x^4+(a-1)x^3+2x^2+3x+2\right) -\left(x^4+x^3+x^2+x\right) \\ &=(a-2)x^3+x^2+2x+2 \end{aligned} $$

となる。

さらに、

$$ (a-2)x^3 \div x^3=a-2 $$

であるから、商に $a-2$ を加える。すると余りは

$$ \begin{aligned} R(x) &=\left((a-2)x^3+x^2+2x+2\right)-(a-2)D(x) \\ &=\left((a-2)x^3+x^2+2x+2\right) \\ &\quad-\left((a-2)x^3+(a-2)x^2+(a-2)x+(a-2)\right) \\ &=(3-a)x^2+(4-a)x+(4-a) \end{aligned} $$

である。

問題の条件より、$R(x)$ の $x$ の一次の項の係数は $1$ だから

$$ 4-a=1 $$

であり、

$$ a=3 $$

となる。

これを余りと商に代入すると、

$$ Q(x)=x^2+x+(a-2)=x^2+x+1 $$

また

$$ R(x)=(3-a)x^2+(4-a)x+(4-a)=x+1 $$

である。

解説

この問題は、整式の割り算をそのまま実行するのが最も確実である。文字 $a$ が入っていても、商と余りを $a$ を含んだ式として表せば、条件「余りの $x$ の係数が $1$」からすぐに $a$ が決まる。

途中で余りの次数が $2$ 以下になっていることも確認しておく必要がある。

答え

$$ a=3 $$

$$ Q(x)=x^2+x+1 $$

$$ R(x)=x+1 $$