解説

方針・初手

$(x+1)^2$ で割り切れるということは、$x=-1$ が重解であることを意味する。したがって

$$ P(-1)=0,\quad P'(-1)=0 $$

が成り立つ。

また、$x-3$ で割り切れるので

$$ P(3)=0 $$

も成り立つ。これら3本の条件から $a,b,c$ を求める。

解法1

与えられた整式は

$$ P(x)=x^4+x^3-ax^2-bx-c $$

である。

まず、$(x+1)^2$ で割り切れることから $P(-1)=0$ である。実際に代入すると

$$ P(-1)=(-1)^4+(-1)^3-a(-1)^2-b(-1)-c =1-1-a+b-c =-a+b-c $$

であるから、

$$ -a+b-c=0 $$

を得る。

次に、$x=-1$ が重解であるので $P'(-1)=0$ も成り立つ。

$$ P'(x)=4x^3+3x^2-2ax-b $$

より、

$$ P'(-1)=4(-1)^3+3(-1)^2-2a(-1)-b =-4+3+2a-b =-1+2a-b $$

であるから、

$$ 2a-b=1 $$

を得る。

さらに、$x-3$ で割り切れるので $P(3)=0$ である。よって

$$ P(3)=3^4+3^3-a\cdot 3^2-b\cdot 3-c =81+27-9a-3b-c =108-9a-3b-c $$

より、

$$ 9a+3b+c=108 $$

を得る。

以上より、連立方程式

$$ \begin{cases} -a+b-c=0 \\ 2a-b=1 \\ 9a+3b+c=108 \end{cases} $$

を解けばよい。

第2式から

$$ b=2a-1 $$

である。これを第1式に代入すると

$$ -a+(2a-1)-c=0 $$

すなわち

$$ c=a-1 $$

となる。

これらを第3式に代入すると

$$ 9a+3(2a-1)+(a-1)=108 $$

すなわち

$$ 9a+6a-3+a-1=108 $$

であるから

$$ 16a-4=108 $$

したがって

$$ 16a=112 $$

より

$$ a=7 $$

となる。

よって

$$ b=2a-1=13,\quad c=a-1=6 $$

である。

解説

$(x+1)^2$ で割り切れるという条件は、単に $x=-1$ を代入して $0$ になるだけでは足りず、重解の条件として導関数も $0$ になることが重要である。

この種の問題では、因数条件を「ある値を代入すると $0$」「重解なら導関数も $0$」という式に直して、係数についての連立方程式に持ち込むのが基本方針である。

答え

$$ a=7,\quad b=13,\quad c=6 $$