基礎問題集
数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題28 解説
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解説
方針・初手
求める余りを $R(x)$ とおく。割る式が $(x+1)^2(x-1)$ で次数が $3$ であるから、$R(x)$ は高々 $2$ 次式である。
また、$F(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $2x+1$ であることから、$R(x)$ も $(x+1)^2$ で割ると $2x+1$ を余りにもつ。したがって、まず
$$ R(x)=2x+1+a(x+1)^2 $$
とおける。
あとは、$(x-1)^2$ で割ったときの情報から $x=1$ を代入して $a$ を決めればよい。
解法1
$F(x)$ を $(x+1)^2(x-1)$ で割った余りを $R(x)$ とする。
すると
$$ F(x)-R(x) $$
は $(x+1)^2(x-1)$ の倍数であるから、特に $x-1$ の倍数である。よって
$$ F(1)=R(1) $$
が成り立つ。
一方、$F(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $x+6$ であるから、
$$ F(1)=1+6=7 $$
である。
したがって
$$ R(1)=7 $$
である。
ここで、$F(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $2x+1$ なので、$R(x)$ は
$$ R(x)=2x+1+a(x+1)^2 $$
とおける。これに $x=1$ を代入すると、
$$ 7=R(1)=2\cdot 1+1+a(1+1)^2=3+4a $$
となるから、
$$ a=1 $$
である。
よって
$$ R(x)=2x+1+(x+1)^2=x^2+4x+2 $$
となる。
解説
この問題の要点は、求める余り $R(x)$ を直接おくことである。
$(x+1)^2$ に関する条件から $R(x)$ の形をかなり絞れ、残りは $x=1$ での値を使えば定数が決まる。ここで、割る式には $(x-1)$ が1個しか含まれていないので、$x=1$ での値だけ分かれば十分であり、微分係数までは不要である。
答え
余りは
$$ x^2+4x+2 $$
である。