解説

方針・初手

この多項式は係数が左右対称であり，

$$ x^4f!\left(\frac{1}{x}\right)=f(x) $$

が成り立つ。したがって，ある実数根 $c$ があれば，$1/c$ も根として現れることが期待できる。

また，$x<0$ では各項がすべて正になるので，実数根は正でなければならない。

さらに，

$$ \begin{aligned} \frac{f(x)}{x^2} &= \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-a\left(x+\frac{1}{x}\right)+(b-2) \end{aligned} $$

と変形できるので，$x+\dfrac{1}{x}$ を用いると構造が明確になる。

解法1

**(1)**

まず $x<0$ とすると，

$$ x^4>0,\quad -ax^3>0,\quad bx^2>0,\quad -ax>0,\quad 1>0 $$

であるから，

$$ f(x)=x^4-ax^3+bx^2-ax+1>0 $$

となる。したがって $f(x)$ は負の実数を根にもたない。よって，$f(x)$ が $x-c$ で割り切れるなら $c<0$ は不可能である。

また $f(0)=1$ であるから $c\neq 0$ である。以上より，

$$ c>0 $$

が分かる。

次に，

$$ \alpha=c+\frac{1}{c} $$

とおく。$f(c)=0$ であるから，

$$ \begin{aligned} 0=\frac{f(c)}{c^2} &= \left(c+\frac{1}{c}\right)^2-a\left(c+\frac{1}{c}\right)+(b-2) \\ \alpha^2-a\alpha+(b-2) \end{aligned} $$

となる。したがって，

$$ y^2-ay+(b-2)=(y-\alpha){y-(a-\alpha)} $$

である。

ここで

$$ y=x+\frac{1}{x} $$

を代入すると，

$$ \begin{aligned} \frac{f(x)}{x^2} &= \left(x+\frac{1}{x}-\alpha\right)\left(x+\frac{1}{x}-(a-\alpha)\right) \end{aligned} $$

となるので，両辺に $x^2$ を掛けて

$$ f(x)=\left(x^2-\alpha x+1\right)\left(x^2-(a-\alpha)x+1\right) $$

を得る。

しかも $\alpha=c+\dfrac{1}{c}$ だから，

$$ \begin{aligned} x^2-\alpha x+1 &= x^2-\left(c+\frac{1}{c}\right)x+1 \\ (x-c)\left(x-\frac{1}{c}\right) \end{aligned} $$

である。よって，

$$ f(x) \text{ は } (x-c)\left(x-\frac{1}{c}\right) \text{ で割り切れる。} $$

**(2)**

$f(x)$ が実数 $s,t,u,v$ を用いて

$$ f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v) $$

と因数分解できるとする。すると $f(x)$ の実数根はすべて実数である。

（1） で見たように，$f(x)$ は負の実数を根にもたないから，$s,t,u,v$ はすべて正である。また，ある根 $r$ に対しては （1） より $1/r$ も根である。

したがって根は正の逆数の組に分けられ，

$$ f(x)=\left(x-r\right)\left(x-\frac{1}{r}\right)\left(x-q\right)\left(x-\frac{1}{q}\right) $$

と書ける。ただし $r,q>0$ である。

ここで

$$ p=r+\frac{1}{r},\qquad \ell=q+\frac{1}{q} $$

とおくと，

$$ f(x)=(x^2-px+1)(x^2-\ell x+1) $$

である。これを展開すると，

$$ f(x)=x^4-(p+\ell)x^3+(p\ell+2)x^2-(p+\ell)x+1 $$

となるから，係数比較により

$$ \begin{aligned} a=p+\ell &= \left(r+\frac{1}{r}\right)+\left(q+\frac{1}{q}\right) \end{aligned} $$

を得る。

ここで $r>0,\ q>0$ であるから，

$$ r+\frac{1}{r}\ge 2,\qquad q+\frac{1}{q}\ge 2 $$

である。よって，

$$ a=\left(r+\frac{1}{r}\right)+\left(q+\frac{1}{q}\right)\ge 4 $$

となる。

**(3)**

$a=5$ とする。（2） と同様に，$f(x)$ が実数係数の一次式の積に分解できるなら，

$$ f(x)=(x^2-px+1)(x^2-qx+1) $$

と書ける。ただし

$$ p\ge 2,\qquad q\ge 2 $$

である。

展開して係数比較をすると，

$$ p+q=5,\qquad pq+2=b $$

を得る。

まず $p,q\ge 2$ かつ $p+q=5$ より，

$$ pq\ge 6 $$

である。したがって，

$$ b=pq+2\ge 8 $$

である。

一方，$p,q$ は

$$ T^2-5T+(b-2)=0 $$

の2つの実数解であるから，判別式は $0$ 以上でなければならない。よって，

$$ 25-4(b-2)\ge 0 $$

すなわち

$$ 33-4b\ge 0 $$

である。したがって，

$$ b\le \frac{33}{4}=8.25 $$

となる。$b$ は自然数だから，

$$ b\le 8 $$

である。

以上を合わせると，

$$ b=8 $$

しかない。

最後に，$b=8$ が実際に可能であることを確認する。$p+q=5,\ pq=6$ より

$$ {p,q}={2,3} $$

であるから，

$$ f(x)=(x^2-2x+1)(x^2-3x+1) =(x-1)^2(x^2-3x+1) $$

となる。さらに，

$$ x^2-3x+1=0 $$

の判別式は

$$ 9-4=5>0 $$

であるから，これは実数の範囲で一次式に分解できる。よって $b=8$ は確かに条件を満たす。

解説

この問題の本質は，$f(x)$ が「相反多項式」の形をしていることである。したがって根が $c$ なら $1/c$ も根になる。

ただし，$c=1$ の場合には単に「逆数も根である」と言うだけでは $(x-1)^2$ で割り切れることまでは直ちにいえない。そのため （1） では

$$ \begin{aligned} \frac{f(x)}{x^2} &= \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-a\left(x+\frac{1}{x}\right)+(b-2) \end{aligned} $$

という変形を用いて，$(x-c)\left(x-\dfrac{1}{c}\right)$ が因数として実際に現れることを示した。

（2） では，実数解が存在しても負の解はありえないことを先に押さえるのが重要である。すると根は正の逆数の組になり，$a$ は $r+\dfrac{1}{r}$ 型の和になるため，すぐに $a\ge 4$ が出る。

（3） では $a=5$ が固定されているので，$p+q=5$ のもとで $b=pq+2$ を絞り込めばよい。下からは $p,q\ge 2$，上からは判別式条件で押さえると，一気に $b=8$ に決まる。

答え

**(1)**

$c>0$ であり，

$$ f(x) \text{ は } (x-c)\left(x-\frac{1}{c}\right) \text{ で割り切れる。} $$

**(2)**

$$ a\ge 4 $$

である。

**(3)**

条件を満たす自然数 $b$ は

$$ b=8 $$

のみである。