基礎問題集
数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題30 解説
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解説
方針・初手
$ x^2-1 $ で割った余りは、次数が $2$ 未満の整式であるから $ax+b$ とおける。
さらに、$x^2-1=(x-1)(x+1)$ であるので、$x=1,-1$ を代入して係数 $a,b$ を決めればよい。
解法1
$ x^{11}+1 $ を $ x^2-1 $ で割った余りを $ax+b$ とする。
すると、ある整式 $Q(x)$ を用いて
$$ x^{11}+1=(x^2-1)Q(x)+(ax+b) $$
と書ける。
ここで $x=1$ を代入すると、
$$ 1^{11}+1=a+b $$
より
$$ a+b=2 $$
である。
次に $x=-1$ を代入すると、
$$ (-1)^{11}+1=-a+b $$
より
$$ -a+b=0 $$
である。
この連立方程式を解くと、
$$ \begin{aligned} a+b&=2\\ -a+b&=0 \end{aligned} $$
より
$$ a=1,\quad b=1 $$
となる。
したがって、余りは
$$ x+1 $$
である。
解法2
$ x^2-1=0 $ となる状況では
$$ x^2 \equiv 1 $$
とみなせる。
したがって
$$ x^{11}=x(x^2)^5 \equiv x\cdot 1^5=x $$
であるから、
$$ x^{11}+1 \equiv x+1 $$
となる。
よって、$ x^2-1 $ で割った余りは
$$ x+1 $$
である。
解説
この問題では、割る式が $x^2-1=(x-1)(x+1)$ と因数分解できることに着目するのが基本である。
余りを $ax+b$ とおいて $x=1,-1$ を代入すれば、余りの係数をすぐに決定できる。また、$x^2\equiv 1$ を用いて高次の項を低次に落とす方法でも簡潔に処理できる。
答え
余りは
$$ x+1 $$
である。