解説

方針・初手

（1） は，$k$ が重解であることを「$(x-k)^2$ で割り切れる」という定義に戻して示すのが基本である。

（2） は，（1） の結果をそのまま用いればよい。すなわち

$$ f(x)=x^n-ax+a $$

とおいて，重解 $k$ に対して

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

を連立して $k,a$ を決定する。

解法1

（1） 必要十分性の証明

まず，$k$ が方程式 $f(x)=0$ の重解であるとする。

このとき定義より，ある整式 $g(x)$ を用いて

$$ f(x)=(x-k)^2g(x) $$

と表せる。

したがって

$$ f(k)=0 $$

である。

また両辺を微分すると

$$ f'(x)=2(x-k)g(x)+(x-k)^2g'(x) $$

となるので，$x=k$ を代入して

$$ f'(k)=0 $$

を得る。

よって，$k$ が重解ならば

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

が成り立つ。

次に，逆に

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

が成り立つとする。

$f(k)=0$ であるから，因数定理により，ある整式 $g(x)$ を用いて

$$ f(x)=(x-k)g(x) $$

と表せる。

これを微分すると

$$ f'(x)=g(x)+(x-k)g'(x) $$

であるから，$x=k$ を代入して

$$ f'(k)=g(k) $$

となる。

仮定より $f'(k)=0$ であるので

$$ g(k)=0 $$

である。再び因数定理より，ある整式 $h(x)$ を用いて

$$ g(x)=(x-k)h(x) $$

と表せる。

したがって

$$ f(x)=(x-k)g(x)=(x-k)^2h(x) $$

となるので，$f(x)$ は $(x-k)^2$ で割り切れる。

よって，$k$ は方程式 $f(x)=0$ の重解である。

以上より，

$$ f(k)=0\ \text{かつ}\ f'(k)=0 $$

は，$k$ が方程式 $f(x)=0$ の重解であるための必要十分条件である。

（2） $k$ および $a$ を求める

$$ f(x)=x^n-ax+a $$

とおく。

$k$ はこの方程式の重解であるから，（1） より

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

が成り立つ。

まず

$$ f'(x)=nx^{n-1}-a $$

であるから，

$$ f'(k)=0 $$

より

$$ nk^{n-1}-a=0 $$

すなわち

$$ a=nk^{n-1} $$

を得る。

これを

$$ f(k)=k^n-ak+a=0 $$

に代入すると

$$ k^n-nk^{n-1}\cdot k+n k^{n-1}=0 $$

すなわち

$$ k^n-nk^n+n k^{n-1}=0 $$

であるから

$$ -(n-1)k^n+n k^{n-1}=0 $$

よって

$$ k^{n-1}{n-(n-1)k}=0 $$

となる。

したがって，

**(i)**

$k=0$

**(ii)**

$n-(n-1)k=0$

の2通りがある。

**(i)**

$k=0$ のとき

$$ a=nk^{n-1}=0 $$

となる。

このとき

$$ f(x)=x^n $$

であり，$x=0$ はたしかに重解である。

**(ii)**

$k=\dfrac{n}{n-1}$ のとき

$$ a=nk^{n-1} =n\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1} =\frac{n^n}{(n-1)^{,n-1}} $$

となる。

したがって求める $(k,a)$ は

$$ \left(0,0\right),\quad \left(\frac{n}{n-1},\frac{n^n}{(n-1)^{,n-1}}\right) $$

である。

解説

（1） の要点は，「重解である」ということを $(x-k)^2$ を因数にもつこととして捉え，因数定理と微分を結び付けることである。特に逆向きでは，まず $f(k)=0$ から $(x-k)$ を1回くくり出し，さらに $f'(k)=0$ からその残りにも $(x-k)$ が含まれることを示すのが標準手順である。

（2） では，重解条件を直接

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

に落とすのが最短である。重解の問題では，まず導関数を計算して連立する方針が基本となる。

答え

**(1)**

$$ k\text{ が }f(x)=0\text{ の重解である} \iff f(k)=0\ \text{かつ}\ f'(k)=0 $$

である。

**(2)**

$$ (k,a)=\left(0,0\right),\quad \left(\frac{n}{n-1},\frac{n^n}{(n-1)^{,n-1}}\right) $$

である。