解説

方針・初手

整式がある多項式で割り切れるかどうかは、その多項式の根を代入して調べるのが基本である。

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ であるから、$x^2-4$ で割り切れるときは $P(2)=0,\ P(-2)=0$ を用いる。

また、$(x+1)^2$ で割り切れるときは、$x=-1$ が重解であるから

$$ P(-1)=0,\quad P'(-1)=0 $$

を用いる。

解法1

まず

$$ P(x)=x^n-ax^2-bx+2 $$

であり、$n$ は $3$ 以上の奇数である。

$x^2-4$ で割り切れるとき

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ であるから、

$$ P(2)=0,\quad P(-2)=0 $$

が成り立つ。

$P(2)=0$ より

$$ 2^n-4a-2b+2=0 $$

また、$n$ は奇数なので $(-2)^n=-2^n$ であり、$P(-2)=0$ より

$$ -2^n-4a+2b+2=0 $$

この2式を加えると

$$ -8a+4=0 $$

となるから、

$$ a=\frac12 $$

である。

さらに、上の2式の差をとると

$$ 2^{n+1}-4b=0 $$

となるので、

$$ b=2^{n-1} $$

である。

したがって、

$$ \boxed{a=\frac12,\ b=2^{n-1}} $$

である。

$(x+1)^2$ で割り切れるとき

$(x+1)^2$ で割り切れるとき、$x=-1$ は重解であるから

$$ P(-1)=0,\quad P'(-1)=0 $$

が成り立つ。

まず、$n$ は奇数なので $(-1)^n=-1$ であるから、

$$ P(-1)=-1-a+b+2=0 $$

すなわち

$$ 1-a+b=0 $$

より

$$ b=a-1 $$

を得る。

次に

$$ P'(x)=nx^{n-1}-2ax-b $$

である。ここで $n-1$ は偶数なので $(-1)^{n-1}=1$ である。したがって

$$ P'(-1)=n+2a-b=0 $$

となる。

ここに $b=a-1$ を代入すると

$$ n+2a-(a-1)=0 $$

$$ n+a+1=0 $$

よって

$$ a=-n-1 $$

であり、

$$ b=a-1=-n-2 $$

となる。

したがって、

$$ \boxed{a=-n-1,\ b=-n-2} $$

である。

解説

$x^2-4$ のように一次式の積に分解できる場合は、それぞれの根 $2,-2$ を代入すればよい。

一方、$(x+1)^2$ のように重解をもつ場合は、単に $P(-1)=0$ だけでは不十分であり、重解条件として $P'(-1)=0$ も必要になる。この違いを確実に使い分けることが重要である。

また、この問題では $n$ が奇数であることから

$$ (-2)^n=-2^n,\quad (-1)^n=-1,\quad (-1)^{n-1}=1 $$

が成り立つ。これを正しく使うことが計算の要点である。

答え

$$ \boxed{(\text{あ})=\frac12,\quad (\text{い})=2^{n-1},\quad (\text{う})=-n-1,\quad (\text{え})=-n-2} $$