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数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題33 解説

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数学2複素数と方程式因数定理･剰余の定理問題33

解説

割る式

$$ x^4+x^3+x^2+x+1 $$

は、等比数列の和の公式より

$$ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) $$

を満たす。したがって、この割る式を法として考えると $x^5\equiv 1$ とみなせる。これを用いて $x^{2023}$ を低い次数に落とす。

$$ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) $$

より、$x^5-1$ は $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割り切れる。よって

$$ x^5\equiv 1 \pmod{x^4+x^3+x^2+x+1} $$

である。

ここで

$$ 2023=5\cdot 404+3 $$

であるから、

$$ x^{2023}=x^{5\cdot 404+3}=(x^5)^{404}x^3 $$

となる。したがって、

$$ x^{2023}-1\equiv 1^{404}x^3-1=x^3-1 \pmod{x^4+x^3+x^2+x+1} $$

を得る。

$x^3-1$ は次数が $3$ であり、割る式の次数 $4$ 未満であるから、これがそのまま余りである。

この問題の要点は、$x^4+x^3+x^2+x+1$ をそのまま扱うのではなく、

$$ x^4+x^3+x^2+x+1=\frac{x^5-1}{x-1} $$

という形に気づくことである。すると $x^5\equiv 1$ という周期性が使え、高次の $x^{2023}$ を一気に整理できる。

指数を $5$ で割った余りに注目するのが典型処理である。

余りは

$$ x^3-1 $$

である。