基礎問題集

数学2 複素数と方程式「因数定理･剰余の定理」の問題34 解説

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数学2複素数と方程式因数定理･剰余の定理問題34

解説

$x^2+x+1$ で割る問題では、

$$ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) $$

を利用するとよい。したがって、$x^2+x+1$ を法として $x^3\equiv 1$ とみなせるので、高次のべき $x^{101}$ を低い次数に落としていく。

$$ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) $$

より、$x^2+x+1$ で割った余りを考えるとき

$$ x^3 \equiv 1 $$

が成り立つ。

ここで、

$$ 101=3\cdot 33+2 $$

であるから、

$$ x^{101}=x^{3\cdot 33+2}=(x^3)^{33}x^2 \equiv 1^{33}x^2=x^2 $$

となる。したがって、

$$ x^{101}-x \equiv x^2-x $$

である。

しかし、余りの次数は割る式 $x^2+x+1$ の次数 $2$ より小さくなければならない。そこで $x^2$ をさらに変形する。

$$ x^2+x+1 \equiv 0 $$

より、

$$ x^2 \equiv -x-1 $$

であるから、

$$ x^2-x \equiv (-x-1)-x=-2x-1 $$

となる。

よって、求める余りは

$$ -2x-1 $$

である。

この問題の要点は、$x^2+x+1$ と $x^3-1$ の関係に気づくことである。$x^3\equiv 1$ が使えると、$x^{101}$ のような高次式も一気に $x^2$ まで下げられる。

そのあと、余りは一次式以下でなければならないので、$x^2\equiv -x-1$ を使って最終的に一次式に直す必要がある。この最後の処理を落とすと不完全解答になる。

$$ -2x-1 $$