解説

方針・初手

割る数

$$ n^2-2n+2 $$

は

$$ (n-1)^2+1 $$

と変形できる。そこで

$$ a=n-1 $$

とおくと，問題は $a^3$ を $a^2+1$ で割ることに言い換えられる。まずこの形で整式の割り算を行い，その後 $a=n-1$ を戻せばよい。

解法1

$$ a=n-1 $$

とおくと，$n\geqq 2$ より $a\geqq 1$ である。

このとき

$$ (n-1)^3=a^3,\qquad n^2-2n+2=a^2+1 $$

であるから，$a^3$ を $a^2+1$ で割ればよい。

まず，

$$ a^3=a(a^2+1)-a $$

である。しかし，これでは余りが $-a$ となってしまい，整数の割り算の余りとしては不適切である。そこで商を 1 だけ減らして調整する。

$$ a^3=(a-1)(a^2+1)+(a^2-a+1) $$

実際，右辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (a-1)(a^2+1)+(a^2-a+1) &=a^3-a^2+a-1+a^2-a+1\\ &=a^3 \end{aligned} $$

となる。

したがって，商は $a-1$，余りは $a^2-a+1$ である。

これを $n$ で表し直すと，

$$ a-1=(n-1)-1=n-2 $$

また，

$$ a^2-a+1=(n-1)^2-(n-1)+1=n^2-3n+3 $$

である。

さらに，余りが割る数より小さいことを確かめると，

$$ (n^2-2n+2)-(n^2-3n+3)=n-1>0 $$

であり，$n\geqq 2$ だから余りは確かに割る数より小さい。

よって，求める商と余りはそれぞれ

$$ n-2,\qquad n^2-3n+3 $$

である。

解説

この問題は，そのまま整数の割り算として考えるよりも，

$$ n^2-2n+2=(n-1)^2+1 $$

と見るのが要点である。すると $(n-1)^3$ との対応が見えやすくなり，整式の割り算の形で処理できる。

また，

$$ a^3=a(a^2+1)-a $$

まではすぐ出るが，余りが負になるのでそのままでは終わらない。商を 1 つ下げて余りを正に直す処理がこの問題の注意点である。

答え

商は $n-2$，余りは $n^2-3n+3$ である。

したがって，

**⑦** $n-2$

**⑧** $n^2-3n+3$