基礎問題集
数学2 複素数と方程式「高次方程式」の問題1 解説
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解説
方針・初手
$x=1$ が $6x^3-cx^2+ax+b=0$ の解であることから、$a,b,c$ の間に1本関係式が立つ。
一方、$a,b$ は $x^2-2x-c=0$ の解であるから、解と係数の関係より $a+b,\ ab$ を $c$ で表せる。これらを連立すれば $c$ が先に決まり、その後 $a,b$ が求まる。
解法1
$x=1$ が方程式
$$ 6x^3-cx^2+ax+b=0 $$
の解であるから、$x=1$ を代入して
$$ 6-c+a+b=0 $$
すなわち
$$ a+b=c-6 $$
を得る。
また、$a,b$ は方程式
$$ x^2-2x-c=0 $$
の解である。よって解と係数の関係から
$$ a+b=2,\qquad ab=-c $$
である。
ここで $a+b=2$ を先ほどの式 $a+b=c-6$ に代入すると、
$$ 2=c-6 $$
より
$$ c=8 $$
となる。
したがって、$a,b$ は
$$ x^2-2x-8=0 $$
の解である。因数分解すると
$$ x^2-2x-8=(x-4)(x+2) $$
であるから、
$$ x=4,\ -2 $$
を得る。
条件 $a<b$ より
$$ a=-2,\qquad b=4 $$
である。
解説
この問題の要点は、条件を別々に処理することである。
まず「$1$ が三次方程式の解」という条件は、単に $x=1$ を代入すればよい。次に「$a,b$ が二次方程式の解」という条件は、解と係数の関係を使うのが最短である。$a+b$ が両方の条件から表せるため、そこをつなぐと $c$ がただちに定まる。
答え
$$ a=-2,\qquad b=4,\qquad c=8 $$
したがって、
**(ア)**
$2$、（イ） $4$、（ウ） $8$ である。