解説

方針・初手

まず $f(x)$ は定数項をもたないので、$x$ でくくれる。さらに残った3次式は係数の形から $(x-1)(x-2)(x-m)$ と因数分解できる。

したがって、$f(x)=0$ の $0$ 以外の解は $1,2,m$ である。これらがすべて相異なる正の整数となる条件と、$f(4)>0$ という条件をあわせて調べればよい。

解法1

$f(x)$ を因数分解する。

$$ \begin{aligned} f(x) &=x^4-(m+3)x^3+(3m+2)x^2-2mx \\ &=x\left\{x^3-(m+3)x^2+(3m+2)x-2m\right\}. \end{aligned} $$

ここで

$$ (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 $$

より、

$$ \begin{aligned} (x-m)(x-1)(x-2) &=(x-m)(x^2-3x+2) \\ &=x^3-(m+3)x^2+(3m+2)x-2m \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ f(x)=x(x-1)(x-2)(x-m) $$

である。

よって $f(x)=0$ の解は

$$ x=0,1,2,m $$

であり、$0$ 以外の解は $1,2,m$ である。

これらがすべて相異なる正の整数であるためには、

• $m$ は正の整数
• $m\neq 1$
• $m\neq 2$

でなければならない。

次に、$x=4$ のとき正の値をとるから、

$$ f(4)>0 $$

である。実際に代入すると、

$$ \begin{aligned} f(4) &=4(4-1)(4-2)(4-m) \\ &=4\cdot 3\cdot 2\cdot (4-m) \\ &=24(4-m). \end{aligned} $$

したがって、

$$ 24(4-m)>0 $$

より

$$ m<4 $$

である。

ここで、$m$ は正の整数かつ $m\neq 1,2$ なので、$m<4$ を満たすものは

$$ m=3 $$

のみである。

解説

この問題の要点は、与えられた4次式をそのまま扱わず、まず因数分解の形を見抜くことである。

係数を見ると、3次式部分が $(x-m)(x-1)(x-2)$ と一致するので、非零解は最初から $1,2,m$ と分かる。あとは「相異なる正の整数」という条件で $m$ を絞り、さらに $f(4)>0$ から符号条件を加えれば一意に定まる。

答え

$$ m=3 $$